Desigualdade de Young

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Em matemática, a desigualdade de Young, devida ao matemático William Henry Young, afirma que se p e q são números reais positivos tais que 1/p + 1/q = 1, então, para todo par de números reais a e b não negativos vale a desigualdade:

A igualdade vale se e somente se ap = bq. Algumas vezes, números reais positivos p e q com a propriedade mencionada são denominados conjugados de Lebesgue.

Young com [editar | editar código-fonte]

A desigualdade de Young também tem pode tomar a seguinte forma:

O que pode ser provado pelo seguinte:

Escreva , ou seja,

Conclua que:

Caso particular[editar | editar código-fonte]

Para o caso p = q = 2, a Desigualdade de Young, tem uma prova elementar, obtida ao se considerar para a e b reais ,

Ao somar 2ab a expressão anterior e dividir por 2 obtém-se o resultado procurado. A desigual de Young com ε é obtida da anterior considerando

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A desigualdade de Young é utilizada na demonstração da desigualdade de Hölder, sendo também amplamente utilizada no estabelecimento de estimativas com normas em espaços de Sobolev com aplicações na teoria das EDPs não lineares.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A prova no caso ab = 0 é trivial, então consideramos a, b > 0. Caso tenhamos ap = bq, usando que 1/p + 1/q = 1,

Agora, para o caso apbp, note que a função f(x) = exp(x) é estritamente convexa, pois f"(x) > 0 para todo x real. Então, para todo t no intervalo (0,1) e todos números reais x,y com xy,

Apliquemos isso para t = 1/p, 1 - t = 1/q, x = ln ap e y = ln bq

que demonstra o resultado.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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