Anel de polinômios

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O anel de polinômios com coefientes em um anel qualquer e qualquer número de indeterminadas é a generalização dos anéis como , dos polinômios com coeficientes reais p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn.

De forma genérica, para definir-se o anel dos polinômios precisa-se:

  • um anel A dos coeficientes
  • um conjunto S das indeterminadas

As indeterminadas aqui tem um significado puramente abstrato, não sendo exigido que S tenha nenhuma estrutura. Assim, é conveniente que S seja um conjunto de símbolos, e (para evitar ambiguidades) que seja disjunto de A.

Um polinômio com coeficientes em A e indeterminadas em S pode ser:

  • o polinômio nulo, denominado 0 (exceto quando haja necessidade de fazer alguma diferença entre este polinômio e o elemento neutro de A; neste caso, podem-se usar índices para marcar a diferença entre eles: 0A e 0A[S])
  • os monômios, que são representados pela justaposição de um elemento (não-nulo) de A seguido de um número finito de elementos de S (podendo ser nenhum) elevados a uma potência inteira positiva. Por exemplo, se e S = {x, y}, então 2, 2 x1 e 2 x² y³ são monômios. Aqui é importante notar que os produtos de potências de S comutam, por exemplo, 2 x² y³ = 2 y³ x². Quando a potência for um, representa-se o monômio sem este valor: 2 x² y1 = 2 x² y.
  • uma soma de dois ou mais monômios (mas sempre uma quantidade finita), em que a parte indeterminada de todas parcelas são diferentes. Novamente, esta soma é comutativa, de forma que duas somas que diferem por uma permutação das parcelas são iguais.

O anel de polinômios é este conjunto A[S] com duas operações de soma de polinômios e produto de polinômios, definidas de forma que:

  • o polinômio nulo é elemento neutro aditivo
  • A[S] é um anel
  • o produto de monômios se comporta como se as indeterminadas comutassem entre si, e que o produto de xn e xm seja xn + m

Existem várias formas equivalentes de criar modelos para A[S], por exemplo o conjunto de todos os objetos

,[1]

onde , , cada -tupla de números inteiros positivos é diferente para diferente valor de , pode servir de modelo para o anel de polinômios com indeterminadas em sobre .

É importante notar que essa expressão é puramente formal, não significando nenhuma operação interna dos elementos de S. No caso particular em que m = 0, temos o polinômio nulo, também representado por 0. No caso particular m = 1, temos um monômio. No caso particular m = 1 e n = 0, temos um elemento de A sendo usado para representar um elemento de A[S].

Introdução[editar | editar código-fonte]

Os polinômios mais conhecidos são os que têm coeficientes inteiros. Por exemplo, tomando como o anel e , um elemento de pode ser

[2]

Note-se que, se bem que o conjunto de indeterminadas possa ser um conjunto infinito, cada polinômio contém um número finito de termos.

Se , então se pode escrever no lugar de . Assim, é um anel de polinômios em uma só indeterminada .

Pode notar-se facilmente que cada elemento de é refletido em como o monômio a.

É possível mostrar que A é um sub-anel de A[S] (mais precisamente, A é isomorfo a um sub-anel de A[S]).

Propriedades fundamentais[editar | editar código-fonte]

Fatos de interesse sobre anéis de polinômios têm que ver com as propriedades do mesmo a partir do anel no que têm seus coeficientes. Por exemplo, quando é um domínio de integridade, também o é, e as unidades de são as mesmas que as de . Pelo contrário nunca será um corpo, não importando que o seja ou não, pois ainda que as unidades de sejam as mesmas que as de , é tão somente um sub-anel de . Entretanto, o anel é um domínio de integridade se o é, logo, dado o caso, se pode construir o corpo de quocientes de (i.e. o corpo de frações de polinômios), que se nota comumente por .

Os coeficientes dos polinômios de um anel podem tomar-se não somente como os elementos de . Na prática podemos facer agrupamentos do tipo

e estas também devem fazer-se em um anel de polinômios . Para ele se separam os elementos de em dois conjuntos disjuntos, digamos e , logo o anel de polinômios tem coeficientes no anel de polinômios e indeterminadas em .

Se é um anel e , claramente é um sub-anel de .

Seja um anel unitário. Todo polinômio não nulo de cujo coeficiente diretor seja uma unidade pode dividir euclidianamente a qualquer outro polinômio de e o grau do resto é estritamente menor que o grau do divisor. Ou seja, se y são polinômios de não nulos, como o coeficiente diretor de uma unidade de , então existem polinômios e de tais que

|med=con|der=

Assim, para que a divisão de polinômios seja sempre possível em um anel de polinômios , deve ser um corpo (i.e. todo elemento de A deve ser uma unidade), e se assim sucede será um domínio euclidiano. Um fato muito importante é que um anel de polinômios é um domínio de ideais principais (DIP) se e somente se é um corpo. Posto que todos os domínios euclidianos são DIPs, temos que não é um domínio euclídiano se contém mais de um elemento, pois , e nunca é um corpo e portanto tampouco um DIP.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Os monômios puros[editar | editar código-fonte]

A definição formal dos anéis de polinômios parte da definição dos monômios puros (sem coeficientes em um anel). Note-se que se é um conjunto e, por exemplo, , um monômio a partir de pode ser

[3]

No monômio puro anterior, cada um dos elementos tem um expoente natural. Portanto, podemos considerar a cada monômio com indeterminadas em como uma aplicação (aqui e no resto do artigo consideramos que inclui o zero). O monômio [3] seria entendido então como a aplicação dada por , , e onde se anula para todos os demais elementos (se estes existem) de . Observar que um monômio puro é o produto de um número finito de indeterminadas. Ainda que seja infinito, podemos obter um monômio fazendo que seja nulo para todas aquelas indeterminadas que não queremos que apareçam no monômio. Por exemplo, se , o monômio

[4]

se corresponde com a aplicação dada por , e .

Em vista das considerações anteriores, a definição de um conjunto de monômios puros tem de ser a seguinte:

Definição

Seja um conjunto. O conjunto dos monômios puros com indeterminadas em , representado por , é o conjunto de todas as aplicações tais que o conjunto é finito.

(1)

Se , se definem as aplicações e , onde , mediante

e

para todo .

Estas aplicações estão bem definidas, e claramente e . Vemos pois que se são aplicações de , se interpreta como o produto dos monômios puros representados por e , e se é um número natural, se interpreta como a potência -ésima do monômio puro representado por .

Note-se que o monômio puro de que toma constantemente o valor 0 é tal que

e

para todo . Assim, este monômio se representa pelo mesmo símbolo 0.

Observe-se que o elemento se interpreta em , claramente, como a aplicação que vale 1 em e 0 em qualquer outro caso. Nestos termos qualquer monômio puro de pode escrever-se como

[5]

onde são os elementos de para os quais a aplicação não se anula (por definição, estes elementos são sempre um número finito). Claramente, cada termo

[6]

de [5] representa o fator no monômio puro representado por . Ou seja, [5] se entende como o monômio puro

[7]

Polinômios com coeficientes em um anel[editar | editar código-fonte]

Para dar andamento à definição de um anel de polinômios, observemos que um polinômio, como [2], é uma soma finita de monômios puros (pre-)multiplicados por coeficientes em um anel (no caso de [2] os coeficientes são inteiros). Assim, por exemplo, é suficiente associar o polinômio [2] com uma aplicação , onde , tal que toma o valor do coeficiente correspondente quando se valora em um monômio .

Em vista disto temos:

Sejam um conjunto, um anel e o conjunto de monômios puros da definição [1]. O anel de polinômios com indeterminadas em sobre é o conjunto de todas as aplicações tais que o conjunto é finito.

Podemos considerar agora os monômios com coeficientes no anel como casos especiais de polinômios. Se é unitário, então podemos considerar o polinômio que vale 1 em e 0 em qualquer outro caso como o próprio monômio puro . Para ver-se que, na realidade, tanto como são, do ponto de vista algébrico, um subconjunto de e que efetivamente é um anel que contém como um sub-anel, é necessário definir as operações de anel sobre .

Operações sobre [editar | editar código-fonte]

Definições[editar | editar código-fonte]

A adição sobre claramente pode ser definida assim:

Sejam polinômios de . Se define como a aplicação dada por

8

para todo monômio puro . Fica claro que .

Esta definição se interpreta como a redução dos termos semelhantes (i.e. os coeficientes de um mesmo monômio ) de e . Quando multiplicamos polinômios, costumamos somar os termos semelhantes que surjam no produto para obter um polinômio o mais reduzido possível. Em vista disto, temos a definição da multiplicação em :

Sejam polinômios de . Se define como a aplicação dada por

'[9]

para todo monômio puro . O membro direito de [9] é a soma de todos os produtos tais que . A aplicação é claramente um polinômio de .

Propriedades de anel[editar | editar código-fonte]

A respeito das operações de adição e multiplicação, segundo tem sido definidas, o conjunto cumpre com que:

é um anel Se é um anel e é um conjunto então é um anel.


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Referências[editar | editar código-fonte]

  • Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0
  • Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4
  • Osborne, M. Scott (2000), Basic homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, 196, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1757274, ISBN 978-0-387-98934-1

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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