Valor absoluto (álgebra)

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Valor absoluto, em álgebra, é uma função que associa a cada elemento um número real. Esta função tem algumas propriedades semelhantes à função modular, que leva cada número real a um número positivo, e que é generalizada para números complexos.

O valor absoluto nos números reais, representado por |.|, é definido pela relação de ordem nos reais. Esta função pode ser estendida aos números complexos, apesar de não ser possível embutir em \mathbb{C}\, uma relação de ordem total. Para algumas finalidades, torna-se interessante utilizar apenas o valor absoluto, e não a relação de ordem. Assim, pode-se definir o que seja um valor absoluto para corpos genéricos, de forma axiomática. É também possível definir um tipo de valor absoluto cujo contradomínio não sejam os números reais, mas sim corpos ordenados arbitrários.1

Em alguns livros, o valor absoluto é chamado de valoração,2 3 porém em outros a valoração é outro tipo de função, onde o contradomínio não são os números reais, mas um grupo ordenado qualquer.4 5 6

Definição[editar | editar código-fonte]

Um valor absoluto em um corpo algébrico K qualquer é uma função |.| que associa a cada elemento x de K um número real não-negativo Nota 1 e que satisfaz os seguintes axiomas:1 2 3 Nota 2 4

  1. |x| = 0 \iff x = 0\,
  2. |x \ y| = |x| \ |y|\,
  3. |x + y| \le |x| + |y|\, (desigualdade triangular)

O valor absoluto define um homomorfismo entre o grupo multiplicativo Kx (K sem o elemento zero) e o grupo multiplicativo dos números reais positivos. Como corolário, |1| = 1.1

Topologia induzida pelo valor absoluto[editar | editar código-fonte]

O valor absoluto em um corpo K permite definir uma métrica em K, via d(x, y) = |x - y|, tornando K um corpo topológico, ou seja, as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão são funções contínuas.2 1

Deve-se notar, também, que a função |.|: K \to \mathbb{R}\, é contínua.1

De forma equivalente, uma valoração pode definir uma base para uma topologia em K, esta base é indexada pelos elementos x0 de K e os números reais positivos ε, e são os conjuntos dos x tais que |x - x0| < ε.3 Nota 3 Esta topologia é Hausdorff.3

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Em \mathbb{Q}\,, é imediato verificar que a função modular usual é um valor absoluto.4 Para qualquer K que seja subcorpo de \mathbb{C}\,, o valor absoluto em \mathbb{C}\, pode ser usado como valor absoluto.1

Se |.| é um valor absoluto, e ρ é um número real qualquer no intervalo (0, 1), é possível verificar que a função |.|ρ também é um valor absoluto. As propriedades (1) e (2) são imediatas, sendo necessário algum esforço para demonstrar a desigualdade triangular.1

A função |x| = 1 para todo x ≠ 0 é um valor absoluto. Este é chamado valor absoluto trivial.1 3 2 O valor absoluto trivial induz, no corpo topológico K, a topologia discreta.3 2

O exemplo mais importante de valor absoluto é o valor absoluto p-ádico.2 Este valor absoluto, representado por |.|p, se caracteriza pelas seguintes propriedades:

|p^n|_p = \frac{1}{p^n}\, para n inteiro 1 7 Nota 4 8 4
|\frac{m}{n}|_p = 1\, para todos números m e n relativamente primos com p 4

Propriedade arquimediana[editar | editar código-fonte]

O axioma de Arquimedes para os números reais é que \mathbb{N}\, não é um conjunto limitado superiormente. Por causa disto, um valor absoluto |.| em que os números naturais são limitados é chamado de não-arquimediano.2

Existem várias definições do que seja um valor absoluto arquimediano e um valor absoluto não-arquimediano:Nota 5

  1. Um valor absoluto é arquimediano quando o conjunto de números reais \{ |n| \ | \ n \in \mathbb{N} \}\, é ilimitado1
  2. Um valor absoluto é não-arquimediano quando vale a desigualdade triangular forte: |x + y| ≤ max(|x|, |y|)2
  3. Um valor absoluto é não-arquimediano quando |x| ≤ 1 implica |1 + x| ≤ 13

Valores absolutos equivalentes[editar | editar código-fonte]

Dois valores absolutos |.|1 e |.|2 são equivalentes (escreve-se |.|1 ~ |.|2) quando eles são essencialmente a mesma função. Por exemplo, pode-se definir que |.|1 e |.|2 são equivalentes quando uma sequência converge para zero segundo |.|1 se, e somente se, ela converge para zero segundo |.|21

Prova-se que as seguintes propriedades são equivalentes para dois valores absolutos |.|1 e |.|2:1

  1. |.|1 ~ |.|2
  2. Existe ρ > 0, real, tal que |.|2 = |.|1ρ
  3. No caso de |.|1 não ser o valor absoluto trivial, para todo a em K, |a|1 < 1 implicar em |a|2 < 1

Caracterização dos valores absolutos nos racionais[editar | editar código-fonte]

Pela equivalência entre as definições acima, podemos caracterizar todas formas de valor absoluto nos números racionais.1

Teorema: Seja |.| um valor absoluto nos números racionais. Então |.| é trivial, ou é equivalente ao valor absoluto usual, ou é equivalente ao valor absoluto p-ádico.1

Notas e referências

Notas

  1. Alguns dos textos definem o contradomínio de |.| como os números reais, e incluem como axioma que |x| ≥ 0.
  2. Émil Artin não inclui a desigualdade triangular entre os axiomas, ele inclui outro axioma, e depois deduz que toda valoração é equivalente a uma valoração onde vale a desigualdade triangular.
  3. Ou seja, a base da topologia são as bolas abertas.
  4. O texto de Wuthrich, sobre inteiros p-ádicos, traz esta relação com n natural.
  5. Cada fonte usa uma definição diferente do que seja um valor absoluto arquimediano e um valor absoluto não-arquimediano, para em seguida demostrar as demais.

Referências

  1. a b c d e f g h i j k l m n Silvio Levy, 23. Absolute value on fields [em linha]
  2. a b c d e f g h Wim H. Schikhof, Banach Spaces over Non-Arquimedian Valued Fields, p.548 [em linha]
  3. a b c d e f g Émil Artin, Algebraic Numbers and Algebraic Functions [google books]
  4. a b c d e Cindy Tsang, Generalized Valuations [em linha]
  5. Ravi Vakil, Introduction to Algebraic Geometry, Class 16 [em linha]
  6. A. R. Wadsworth, Valuation Theory on Finite Dimensional Division Algebras, p.5 [em linha]
  7. Christian Wuthrich, Teaching, Further Number Theory, p-adic numbers, 6.4 The absolute value [em linha]
  8. David A. Madore, A first introduction to p-adic numbers, 2. Second definition - topology and metric [em linha]