Valor absoluto (álgebra)

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Disambig grey.svg Nota: Para outros significados de Valor absoluto, veja Valor absoluto.

Valor absoluto, em álgebra, é uma função que associa a cada elemento um número real. Esta função tem algumas propriedades semelhantes à função modular, que leva cada número real a um número positivo, e que é generalizada para números complexos.

O valor absoluto nos números reais, representado por |.|, é definido pela relação de ordem nos reais. Esta função pode ser estendida aos números complexos, apesar de não ser possível embutir em uma relação de ordem total. Para algumas finalidades, torna-se interessante utilizar apenas o valor absoluto, e não a relação de ordem. Assim, pode-se definir o que seja um valor absoluto para corpos genéricos, de forma axiomática. É também possível definir um tipo de valor absoluto cujo contradomínio não sejam os números reais, mas sim corpos ordenados arbitrários.[1]

Em alguns livros, o valor absoluto é chamado de valoração,[2][3] porém em outros a valoração é outro tipo de função, onde o contradomínio não são os números reais, mas um grupo ordenado qualquer.[4][5][6]

Definição[editar | editar código-fonte]

Um valor absoluto em um corpo algébrico K qualquer é uma função |.| que associa a cada elemento x de K um número real não-negativo [Nota 1] e que satisfaz os seguintes axiomas:[1][2][3][Nota 2][4]

  1. (desigualdade triangular)

O valor absoluto define um homomorfismo entre o grupo multiplicativo Kx (K sem o elemento zero) e o grupo multiplicativo dos números reais positivos. Como corolário, |1| = 1.[1]

Topologia induzida pelo valor absoluto[editar | editar código-fonte]

O valor absoluto em um corpo K permite definir uma métrica em K, via d(x, y) = |x - y|, tornando K um corpo topológico, ou seja, as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão são funções contínuas.[2][1]

Deve-se notar, também, que a função é contínua.[1]

De forma equivalente, uma valoração pode definir uma base para uma topologia em K, esta base é indexada pelos elementos x0 de K e os números reais positivos ε, e são os conjuntos dos x tais que |x - x0| < ε.[3][Nota 3] Esta topologia é Hausdorff.[3]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Em , é imediato verificar que a função modular usual é um valor absoluto.[4] Para qualquer K que seja subcorpo de , o valor absoluto em pode ser usado como valor absoluto.[1]

Se |.| é um valor absoluto, e ρ é um número real qualquer no intervalo (0, 1), é possível verificar que a função |.|ρ também é um valor absoluto. As propriedades (1) e (2) são imediatas, sendo necessário algum esforço para demonstrar a desigualdade triangular.[1]

A função |x| = 1 para todo x ≠ 0 é um valor absoluto. Este é chamado valor absoluto trivial.[1][3][2] O valor absoluto trivial induz, no corpo topológico K, a topologia discreta.[3][2]

O exemplo mais importante de valor absoluto é o valor absoluto p-ádico.[2] Este valor absoluto, representado por |.|p, se caracteriza pelas seguintes propriedades:

para n inteiro [1][7][Nota 4][8][4]
para todos números m e n relativamente primos com p [4]

Propriedade arquimediana[editar | editar código-fonte]

O axioma de Arquimedes para os números reais é que não é um conjunto limitado superiormente. Por causa disto, um valor absoluto |.| em que os números naturais são limitados é chamado de não-arquimediano.[2]

Existem várias definições do que seja um valor absoluto arquimediano e um valor absoluto não-arquimediano:[Nota 5]

  1. Um valor absoluto é arquimediano quando o conjunto de números reais é ilimitado[1]
  2. Um valor absoluto é não-arquimediano quando vale a desigualdade triangular forte: |x + y| ≤ max(|x|, |y|)[2]
  3. Um valor absoluto é não-arquimediano quando |x| ≤ 1 implica |1 + x| ≤ 1[3]

Valores absolutos equivalentes[editar | editar código-fonte]

Dois valores absolutos |.|1 e |.|2 são equivalentes (escreve-se |.|1 ~ |.|2) quando eles são essencialmente a mesma função. Por exemplo, pode-se definir que |.|1 e |.|2 são equivalentes quando uma sequência converge para zero segundo |.|1 se, e somente se, ela converge para zero segundo |.|2[1]

Prova-se que as seguintes propriedades são equivalentes para dois valores absolutos |.|1 e |.|2:[1]

  1. |.|1 ~ |.|2
  2. Existe ρ > 0, real, tal que |.|2 = |.|1ρ
  3. No caso de |.|1 não ser o valor absoluto trivial, para todo a em K, |a|1 < 1 implicar em |a|2 < 1

Caracterização dos valores absolutos nos racionais[editar | editar código-fonte]

Pela equivalência entre as definições acima, podemos caracterizar todas formas de valor absoluto nos números racionais.[1]

Teorema: Seja |.| um valor absoluto nos números racionais. Então |.| é trivial, ou é equivalente ao valor absoluto usual, ou é equivalente ao valor absoluto p-ádico.[1]

Notas e referências

Notas

  1. Alguns dos textos definem o contradomínio de |.| como os números reais, e incluem como axioma que |x| ≥ 0.
  2. Émil Artin não inclui a desigualdade triangular entre os axiomas, ele inclui outro axioma, e depois deduz que toda valoração é equivalente a uma valoração onde vale a desigualdade triangular.
  3. Ou seja, a base da topologia são as bolas abertas.
  4. O texto de Wuthrich, sobre inteiros p-ádicos, traz esta relação com n natural.
  5. Cada fonte usa uma definição diferente do que seja um valor absoluto arquimediano e um valor absoluto não-arquimediano, para em seguida demostrar as demais.

Referências

  1. a b c d e f g h i j k l m n Silvio Levy, 23. Absolute value on fields [em linha]
  2. a b c d e f g h Wim H. Schikhof, Banach Spaces over Non-Arquimedian Valued Fields, p.548 [em linha]
  3. a b c d e f g Émil Artin, Algebraic Numbers and Algebraic Functions [google books]
  4. a b c d e Cindy Tsang, Generalized Valuations [em linha]
  5. Ravi Vakil, Introduction to Algebraic Geometry, Class 16 [em linha]
  6. A. R. Wadsworth, Valuation Theory on Finite Dimensional Division Algebras, p.5 [em linha]
  7. Christian Wuthrich, Teaching, Further Number Theory, p-adic numbers, 6.4 The absolute value [em linha]
  8. David A. Madore, A first introduction to p-adic numbers, 2. Second definition - topology and metric [em linha]