Número primo de Wagstaff

Um número primo de Wagstaff é um número primo p da forma

p={{2^{q}+1} \over 3}

onde q é outro número primo. Os números primos de Wagstaff são assim designados em homenagem ao matemático Samuel S. Wagstaff Jr., e o site Prime Pages indica que François Morain os designou assim num discurso na conferencia Eurocrypt 1990. Estão relacionados com a nova conjetura de Mersenne e têm aplicações no campo da criptologia.

Os rimeiros números primos de Wagstaff[editar | editar código-fonte]

Os três primeiros números primos de Wagstaff são 3, 11 e 43 porque

3={{2^{3}+1} \over 3},

11={{2^{5}+1} \over 3},

43={{2^{7}+1} \over 3}.

Os primeiros números primos de Wagstaff (sequência A000979 na OEIS) são:

3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403.

Os exponentes q[editar | editar código-fonte]

Os primeiros exponetes q que produzem números primos de Wagstaff ou provavelmente primos (sequência A000978 na OEIS) são:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191.

Já foi demonstrada a primalidade destes números com q menor ou igual que 42737. Os de exponente maior são "provavelmente primos", e o maior de todos os que se conhecem na atualidade, ${\frac {2^{986191}+1}{3}}$ , foi descoberto por Vincent Diepeveen em junho de 2008.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

É natural considerar^[1] mais números genéricos da forma

Q(b,n)={\frac {b^{n}+1}{b+1}}

onde a base $b\geq 2$ . Como para $n$ ímpar se tem

{\frac {b^{n}+1}{b+1}}={\frac {(-b)^{n}-1}{(-b)-1}}=R_{n}(-b)

estes números são chamados "números de Wagstaff de base $b$ ", e por vezes considerados^[2] como um caso de números repunit com base negativa $-b$ .

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Wagstaff» (em inglês). The Prime Pages. Universidade do Tennessee.
Renaud Lifchitz, Um teste eficiente para números provavelmente primos da forma (2^p+1)/3.

Referências

↑ Dubner, H. e Granlund, T.: Primes of the Form (bⁿ + 1)/(b + 1), Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000)
↑ Repunit, Wolfram MathWorld (Eric W. Weisstein)

[1] Dubner, H. e Granlund, T.: Primes of the Form (bⁿ + 1)/(b + 1), Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000)

[2] Repunit, Wolfram MathWorld (Eric W. Weisstein)

[1]

[2]

v d e Classes de números primos
Por fórmula	Fermat $(2^{2^{n}}+1)$ Mersenne $(2^{p}-1)$ Duplo de Mersenne $(2^{2^{p}-1}-1)$ Wagstaff ${\frac {(2^{p}+1)}{3}}$ Proth $(k\cdot 2^{n}+1)$ Factorial $(n!\pm 1)$ Primorial $(p_{n}\#\pm 1)$ Euclides $(p_{n}\#+1)$ Pitagórico $(4n+1)$ Pierpont $(2^{u}\cdot 3^{v}+1)$ Solinas $(2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)$ Cullen $(n\cdot 2^{n}+1)$ Woodall $(n\cdot 2^{n}-1)$ Cubano ${\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}$ Carol ${(2^{n}-1)}^{2}-2$ Kynea ${(2^{n}+1)}^{2}-2$ Leyland $(x^{y}+y^{x})$ Thabit $(3\cdot 2^{n}-1)$ Mills (chão $(A^{3^{n}})$ )
Por sequência de inteiros	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Partições Pell Perrin Newman–Shanks–Williams
Por propriedade	Da sorte Wall–Sun–Sun Wilson Wieferich Par de Wieferich Afortunado Ramanujan Pillai Regular Forte Stern Supersingular Wolstenholme Bom Superprimo Higgs Altamente cototiente Ilegal
Dependentes de bases	Feliz Diédrico Palíndromo Omirp Repunit ${\frac {(10^{n}-1)}{9}}$ Permutável Circular Estrobogramático Mínimo Longo único Primeval Auto Smarandache–Wellin
Padrões	Gémeos $(p,p+2)$ Tripla $(p,p+2~ou~p+4,p+6)$ Quádrupla $(p,p+2,p+6,p+8)$ Tuplo Primos primos $(p,p+4)$ Sexy $(p,p+6)$ Chen Sophie Germain $(p,2p+1)$ Cadeia de Cunningham $(p,2p\pm 1,\ldots )$ Seguro $(p,{\frac {(p-1)}{2}})$ Progressão aritmética $(p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )$ Equilibrado (consecutivos $p-n,p,p+n)$
Por dimensão	Titânico ( $1000+$ dígitos) Gigantesco ( $10000+$ ) Megaprimo ( $1000000+$ ) Maior conhecido
Números complexos	Eisenstein Gauss
Números compostos	Número pseudoprimo Quase primo Semiprimo Interprimo
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