Constante de Mills

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Na teoria dos números, a constante de Mills é definida como o menor real positivo A tal que a função piso da dupla exponencial: 

é um número primo para todos os inteiros positivos n. A constante possui este nome em homenagem a William H. Mills, que provou em 1947 a existência de A, baseado em resultados de Guido Hoheisel e Albert Ingham sobre intervalos entre primos consecutivos. Seu valor é desconhecido, mas se a hipótese de Riemann for verdadeira, seu valor é de aproximadamente 1.3063778838630806904686144926... (sequência A051021 na OEIS)[1].

Primos de Mills[editar | editar código-fonte]

Os primos gerados pela constante de Mills são conhecidos como Primos de Mills[2]. Se a hipótese de Riemann for verdadeira, seus primeiros termos são:

2, 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183, 4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499, ... (sequencia A051254 na OEIS).

Atualmente, o maior primo de Mills conhecido (sob a hipótese de Riemann) é:

com um comprimento de 20562 dígitos.

Sketch da Prova[editar | editar código-fonte]

Dada uma sequência de inteiros positivos, provaremos que basta que para que exista A tal que para todo n.

Para isso, considere a sequência de intervalos onde . A condição implica que . Segue, portanto, do teorema dos intervalos encaixantes, que existe um número real A que está em todos estes intervalos. Esse número satisfaz o desejado, pois .

Portanto para provar a existência da constante de Mills, basta provar que existe uma sequência de primos tais que para todo n. A existência desta sequência segue, por exemplo, de um resultado de Cheng[3], que implica que há ao menos um primo entre n^3 e (n+1)^3 para todo n suficientemente grande. Se assumirmos a hipótese de Riemann, temos ainda que existe tal sequência de primos com , e que que gera o real A minimal pode ser obtida recursivamente, tomando-se como o menor primo maior que .

Cálculo Numérico[editar | editar código-fonte]

Calculando-se a sequência dos primos de Mills, pode-se aproximar a constante de Mills como:

Caldwell e Cheng (2005)[4] usaram este método para calcular quase 7 mil dígitos da constante na base 10, assumindo a hipótese de Riemann. Não se conhece uma fórmula fechada para esta constante, e nem se sabe se é um número racional[5].

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. «Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem». Jounal of Integer Sequences, Vol. 8 (2005)  line feed character character in |titulo= at position 42 (ajuda)
  2. «Mill's Constant» 
  3. «Explicit Estimate on Primes Between Consecutive Cubes». Rocky Mt. J. Math. 40 
  4. «Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem» 
  5. Finch, Steven R (2003). Mathematical Constants. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 130-133. ISBN 0-521-81805-2