Número primo equilibrado

Na teoria dos números, um primo equilibrado é um número primo com intervalos entre primos de igual tamanho acima e abaixo, de modo que é igual à média aritmética dos primos mais próximos acima e abaixo. Ou colocando algebricamente, dado um número primo $p_{n}$ , onde n é o índice no conjunto ordenado de números primos,

p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Os primeiros primos equilibrados são

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103...

Por exemplo, 53 é o décimo sexto primo. Os primos décimo quinto e décimo sétimo, 47 e 59, somam 106, cuja metade é 53. Sendo assim, 53 é um número primo equilibrado.

Quando 1 era considerado um número primo, 2 teria sido considerado o primeiro primo equilibrado pois

2={1+3 \over 2}.

Infinitude[editar | editar código-fonte]

É conjecturado que há infinitamente muitos primos equilibrados.

Três primos consecutivos em progressão aritmética são às vezes chamados de CPAP-3. Um primo equilibrado é, por definição, o segundo primo em um CPAP-3. Desde 2014, o maior e mais conhecido CPAP-3 tem 10546 dígitos e foi encontrado por David Broadhurst. Ele é:^[1]

p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n-1}=p_{n}-2430,\quad p_{n+1}=p_{n}+2430.

O valor de n (a sua posição na sequência de todos os números primos) não é conhecido.

Generalização[editar | editar código-fonte]

Os primos equilibrados podem ser generalizados a primos equilibrado de ordem n. Um primo equilibrado de ordem n é um número primo que é igual à média aritmética dos n números primos mais próximos acima e abaixo. Algebricamente, dado um número primo $p_{k}$ , onde k é o índice no conjunto ordenado de números primos,

p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} \over 2n}.

Assim, um primo equilibrado comum é um primo equilibrado de primeira ordem. As sequências de primos equilibrados de ordens 2, 3 e 4 são dadas pelas sequências A082077, A082078 e A082079 na OEIS respectivamente.

Referências

↑ The Largest Known CPAP's.

[1] The Largest Known CPAP's.

[1]

v d e Classes de números primos
Por fórmula	Fermat $(2^{2^{n}}+1)$ Mersenne $(2^{p}-1)$ Duplo de Mersenne $(2^{2^{p}-1}-1)$ Wagstaff ${\frac {(2^{p}+1)}{3}}$ Proth $(k\cdot 2^{n}+1)$ Factorial $(n!\pm 1)$ Primorial $(p_{n}\#\pm 1)$ Euclides $(p_{n}\#+1)$ Pitagórico $(4n+1)$ Pierpont $(2^{u}\cdot 3^{v}+1)$ Solinas $(2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)$ Cullen $(n\cdot 2^{n}+1)$ Woodall $(n\cdot 2^{n}-1)$ Cubano ${\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}$ Carol ${(2^{n}-1)}^{2}-2$ Kynea ${(2^{n}+1)}^{2}-2$ Leyland $(x^{y}+y^{x})$ Thabit $(3\cdot 2^{n}-1)$ Mills (chão $(A^{3^{n}})$ )
Por sequência de inteiros	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Partições Pell Perrin Newman–Shanks–Williams
Por propriedade	Da sorte Wall–Sun–Sun Wilson Wieferich Par de Wieferich Afortunado Ramanujan Pillai Regular Forte Stern Supersingular Wolstenholme Bom Superprimo Higgs Altamente cototiente Ilegal
Dependentes de bases	Feliz Diédrico Palíndromo Omirp Repunit ${\frac {(10^{n}-1)}{9}}$ Permutável Circular Estrobogramático Mínimo Longo único Primeval Auto Smarandache–Wellin
Padrões	Gémeos $(p,p+2)$ Tripla $(p,p+2~ou~p+4,p+6)$ Quádrupla $(p,p+2,p+6,p+8)$ Tuplo Primos primos $(p,p+4)$ Sexy $(p,p+6)$ Chen Sophie Germain $(p,2p+1)$ Cadeia de Cunningham $(p,2p\pm 1,\ldots )$ Seguro $(p,{\frac {(p-1)}{2}})$ Progressão aritmética $(p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )$ Equilibrado (consecutivos $p-n,p,p+n)$
Por dimensão	Titânico ( $1000+$ dígitos) Gigantesco ( $10000+$ ) Megaprimo ( $1000000+$ ) Maior conhecido
Números complexos	Eisenstein Gauss
Números compostos	Número pseudoprimo Quase primo Semiprimo Interprimo
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