Números primos gémeos

Números primos gémeos, na teoria dos números, são dois números primos cuja diferença é igual a dois. Os primeiros pares de números primos gémeos são $(3,5),~(5,7),~(11,13),~(17,19),~(29,31),~(41,43),~(59,61),~(71,73),~(101,103),~(107,109),~(137,139)$ (sequência A001097 na OEIS). Os maiores números conhecidos com estas características são $3756801695685\cdot ~2^{666669}\pm 1$, descobertos em dezembro de 2011. Existem cerca de mil números primos gémeos abaixo de 100 000 e oito mil abaixo de 1 000 000.

Propriedades

Sabe-se que com exceção dos números 2 e 3 todos os números primos gêmeos são da forma $p=6K\pm 1$. Daí segue, que todos os pares de primos gêmeos, com exceção do 3 e 5 são da forma $(6K-1,6K+1)$. Além disso, segue que o único inteiro que é parte de 2 pares de primos gêmeos é o 5.

Em 1949 P.A. Clement demonstrou que $(p,~p+2)$ é um par de números primos gémeos se e somente se $4((p-1)!+1)\equiv -p{\pmod {p(p+2)}}$.

Infinidade

O problema de saber se existe uma infinidade de números primos gémeos é muito antigo, tendo Euclides conjecturado que sim. Esta conjectura é chamada de conjectura dos primos gémeos e é um dos problemas em aberto da Matemática. O matemático francês Alphonse de Polignac conjecturou, de forma mais geral, que para cada natural $k$ há infinitos pares de primos $p$ e $p'$ tais que $p'-p=2k$. O caso $k=1$ é a conjectura dos primos gémeos.

Em 17 de Abril de 2013, Yitang Zhang anunciou uma prova de que para algum inteiro $N$ menor que 70 milhões, há infinitos pares de primos cuja diferença é $N$. Terence Tao, em sequência, propôs um projeto Polymath com a intenção de melhorar colaborativamente a cota de Zhang. Em abril de 2014, um ano após o anúncio inicial, a melhor cota provada é de 246, no lugar de 70 milhões.

Crivo para determinação de primos gêmeos

Seja a multiplicação de dois números da forma $I=6K\mp 1=(6K_{2}\pm 1).(6K_{3}\pm 1)$. Sabe se que este número é composto porque resulta da multiplicação de dois números, sejam eles primos ou não. Logo $6K\pm 1=6.6K_{2}.K_{3}\pm 6K_{2}\pm 6K_{3}\pm 1$ , que podemos fatorar ficando

$6K\pm 1=6(6K_{2}K_{3}\pm K_{2}\pm K_{3})\pm 1$ que simplificando dos dois lados da igualdade fica $K=6K_{2}K_{3}\pm K_{2}\pm K_{3}$ .

Então para qualquer par de números $K_{2},K_{3}$ inteiros que se colocar nesta fórmula chegamos a um valor de $K$ , que nos leva a um numero composto da forma $I=6K\pm 1$ .

Se esta equação para um determinado número inteiro $K$não tiver nenhum para de números $K_{2},K_{3}$ como solução significa que este valor de $K$ nos leva ao par de primos gêmeos expresso por $I=6K\pm 1$ .

Teorema de Brun

Em 1915, Viggo Brun provou que a soma dos inversos dos primos gémeos é convergente. Esse resultado, chamado teorema de Brun, foi o primeiro uso do crivo de Brun, e ajudou a iniciar o desenvolvimento da teoria dos crivos moderna. Uma versão moderna do argumento de Brun pode ser usado para mostrar que a quantidade de primos gémeos menores que $N$ não ultrapassa $C{\frac {N}{(\log N)^{2}}}$ para alguma constante absoluta C>0. Tal resultado é condizente a primeira conjectura de Hardy-Littlewood, que afirma que a quantidade de primos gémeos menores que $N$ deve ser da ordem de $c{\frac {N}{(\log N)^{2}}}$ para alguma constante $c>0$.

Ver também

• Número primo
• Primo de Mersenne
• Descoberta do Defeito de Ponto Flutuante
• Conjectura dos primos gêmeos
• Crivo de Brun
• Constante de Brun

Bibliografia

• Sloane, Neil; Plouffe, Simon (1995). The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2.
• Bateman, Paul T.; Diamond, Harold G. (2004). Analytic Number Theory. [S.l.]: World Scientific. ISBN 981-256-080-7. Zbl 1074.11001 
• Richard L. Francis, "Isolated Primes", J. Rec. Math., 11 (1978), 17-22.

Ligações externas

• «Distribuição de números primos tem novo teorema, Scientific American (Brasil).» 
• «Matemático peruano resolve problema de 3 séculos sobre números primos, UOL.» 
• «On Twin Primes Dedicated to the Memory of Professor Dr K. D. Soomro.» (PDF) (em inglês) 
• «Twin Primes and a Primality Test by Indivisibility.» (PDF) (em inglês) 
• «TOWARDS THE PROOF OF TWIN PRIMES CONJECTURE: A MODULAR CHARACTERIZATION.» (PDF) (em inglês) 
• «On Wilson's Theorem and Polignac Conjectur.» (PDF) (em inglês)