Inteiro de Gauss

Em matemática, um inteiro de Gauss é um número complexo da forma a + b i em que a e b são números inteiros.^[1]^[2]

O anel dos inteiros de Gauss é o menor sub-anel do anel dos números complexos que contém o elemento i.^[2]

Eles foram introduzidos por Carl Friedrich Gauss.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O anel dos inteiros de Gauss tem as seguintes propriedades:

Os elementos inversiveis são 1, i, -1 e -i.
É um Domínio Fatorial, ou seja, todo elemento tem fatoração única (a menos de elementos inversíveis). Note-se que alguns números primos no anel dos inteiros são compostos nos inteiros de Gauss, por exemplo 5 = (2 + i) (2 - i). Os inteiros de Gauss que não podem ser expressos por produto de outros dois inteiros Gaussianos de módulo maior que 1 são chamados de primos de Gauss.
Pode se tornar um domínio euclidiano com a norma v(a + b i) = a² + b².

Os inteiros Gaussianos são o conjunto^[3]

\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ onde }}i^{2}=-1.

Referências

↑ Alves, Lídia; Moura, Renan; Strey, Eleonesio (2023). «Inteiros Gaussianos». Revista Professor de Matemática On line (23). ISSN 2319-023X. doi:10.21711/2319023x2023/pmo1123. Consultado em 14 de setembro de 2023
↑ ^a ^b Kleiner, Israel (1998). «From Numbers to Rings: The Early History of Ring Theory». Elem. Math. 53 (1): 18–35. Zbl 0908.16001. doi:10.1007/s000170050029
↑ Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra, ISBN 0-201-01984-1 2nd ed. , Reading: Addison-Wesley

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[1] Alves, Lídia; Moura, Renan; Strey, Eleonesio (2023). «Inteiros Gaussianos». Revista Professor de Matemática On line (23). ISSN 2319-023X. doi:10.21711/2319023x2023/pmo1123. Consultado em 14 de setembro de 2023

[Kleiner-2] Kleiner, Israel (1998). «From Numbers to Rings: The Early History of Ring Theory». Elem. Math. 53 (1): 18–35. Zbl 0908.16001. doi:10.1007/s000170050029

[3] Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra, ISBN 0-201-01984-1 2nd ed. , Reading: Addison-Wesley

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v d e Classes de números primos
Por fórmula	Fermat $(2^{2^{n}}+1)$ Mersenne $(2^{p}-1)$ Duplo de Mersenne $(2^{2^{p}-1}-1)$ Wagstaff ${\frac {(2^{p}+1)}{3}}$ Proth $(k\cdot 2^{n}+1)$ Factorial $(n!\pm 1)$ Primorial $(p_{n}\#\pm 1)$ Euclides $(p_{n}\#+1)$ Pitagórico $(4n+1)$ Pierpont $(2^{u}\cdot 3^{v}+1)$ Solinas $(2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)$ Cullen $(n\cdot 2^{n}+1)$ Woodall $(n\cdot 2^{n}-1)$ Cubano ${\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}$ Carol ${(2^{n}-1)}^{2}-2$ Kynea ${(2^{n}+1)}^{2}-2$ Leyland $(x^{y}+y^{x})$ Thabit $(3\cdot 2^{n}-1)$ Mills (chão $(A^{3^{n}})$ )
Por sequência de inteiros	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Partições Pell Perrin Newman–Shanks–Williams
Por propriedade	Da sorte Wall–Sun–Sun Wilson Wieferich Par de Wieferich Afortunado Ramanujan Pillai Regular Forte Stern Supersingular Wolstenholme Bom Superprimo Higgs Altamente cototiente Ilegal
Dependentes de bases	Feliz Diédrico Palíndromo Omirp Repunit ${\frac {(10^{n}-1)}{9}}$ Permutável Circular Estrobogramático Mínimo Longo único Primeval Auto Smarandache–Wellin
Padrões	Gémeos $(p,p+2)$ Tripla $(p,p+2~ou~p+4,p+6)$ Quádrupla $(p,p+2,p+6,p+8)$ Tuplo Primos primos $(p,p+4)$ Sexy $(p,p+6)$ Chen Sophie Germain $(p,2p+1)$ Cadeia de Cunningham $(p,2p\pm 1,\ldots )$ Seguro $(p,{\frac {(p-1)}{2}})$ Progressão aritmética $(p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )$ Equilibrado (consecutivos $p-n,p,p+n)$
Por dimensão	Titânico ( $1000+$ dígitos) Gigantesco ( $10000+$ ) Megaprimo ( $1000000+$ ) Maior conhecido
Números complexos	Eisenstein Gauss
Números compostos	Número pseudoprimo Quase primo Semiprimo Interprimo
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