Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos

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O teorema de Euclides, que assegura a existência de uma infinidade de números primos, é um resultado fundamental da teoria elementar dos números e possui inúmeras demonstrações. Além do próprio Euclides, matemáticos famosos como Euler, Goldbach e Erdös, entre outros, também forneceram demonstrações desse teorema. Há uma, no entanto, que chama bastante a atenção e que valeu fama ao matemático que a engendrou: é a “demonstração topológica” do matemático israelense Hillel Fürstenberg. A rigor, o uso de topologia não desempenha um papel central na demonstração. Na verdade, a topologia tem na demonstração de Fürstenberg mais um papel de linguagem do que de ferramenta indispensável. A prova[1] foi publicada pela primeira vez em 1955 no American Mathematical Monthly quando Fürstenberg ainda era um estudante de graduação na Universidade Yeshiva.

A demonstração de Fürstenberg[editar | editar código-fonte]

Dados inteiros , em que , defina . Podemos chamar um conjunto da forma de “conjunto aritmético” (abreviadamente CA), dado que a ordenação de seus elementos é uma progressão aritmética de termo inicial e razão igual a ; e a ordenação dos elementos uma progressão aritmética de termo inicial também e razão, porém, igual a .

Considere a coleção X : X é um CA ou uma união de CAs de subconjuntos de . Tal coleção é uma topologia sobre (cujos CAs são abertos básicos, isto é, a coleção de todos os CAs é uma base para tal topologia). Os axiomas de uma topologia são facilmente verificados:

  • Por definição, o conjunto vazio é aberto; e o espaço inteiro também, já que ;
  • União arbitrária de elementos de é ainda um elemento de ;
  • A interseção de dois elementos de pertence ainda a : dados e , sejam e inteiros tais que e ; e seja o mínimo múltiplo comum de e . Então, como e , .

Esta topologia é um tanto incomum e possui duas propriedades notáveis:

  1. Se é finito, então e, consequentemente, o complementar de um conjunto finito não-vazio nunca é fechado.
  2. Os abertos básicos são também conjuntos fechados, pois é possível escrever como o complementar de um conjunto aberto:

Bem, os únicos inteiros que não são múltiplos de números primos são -1 e 1, ou seja, vale a identidade

Pela primeira propriedade, o conjunto não pode ser fechado. Por outro lado, pela segunda propriedade, os conjuntos são fechados. Assumindo então, por absurdo, que o conjunto dos números primos seja finito, como a união finita de conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado, ganha-se que é fechado. Mas isto é uma contradição e, portanto, existem infinitos números primos.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Fürstenberg, Harry (1955). «On the infinitude of primes» (PDF). Amer. Math. Monthly [S.l.: s.n.] 62: 353. doi:10.2307/2307043. ISSN 0002-9890. 

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