Teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel

Em fundamentos da matemática, a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NGB) é uma extensão do sistema ZFC para a teoria axiomática dos conjuntos

História

A primeira variante de NGB, feita por John von Neumann na década de 1920, assumia funções como noção primitiva, e não os conjuntos. Em uma série de artigos publicados entre 1937-54, Paul Bernays modificou a teoria de Von Neumann de modo a assumir conjuntos e relações de conjuntos como noções primitivas; Bernays descobriu também que a teoria podia ser finitamente axiomatizada. Gödel(1940), a simplificou e a usou, enquanto investigava a independência da Hipótese do continuum.

Ontologia

Sendo uma teoria de conjuntos, as noções primitivas de NBG são as de classes X e pertinência ∈. O conceito de classe deve ser pensado como uma "coleção de objetos", esses objetos são chamados elementos, se reserva a palavra conjunto para um tipo especial de classe, mostrado abaixo.

Em NGB, a designação conjunto (cto) se dá às classes que são elementos de alguma outra classe:

${\text{cto}}X\equiv \exists Y\ :X\in Y$

As classes que não são conjuntos denominam-se classes próprias, ou seja, as classes próprias não são membros de nenhuma outra classe.

Em outras palavras, $a\in s$ é definida quando a é um conjunto e s é uma classe, e não é definida quando a é uma classe própria. NBG admite a "classe de todos os conjuntos", sendo essa a classe universal V, contudo, NBG não admite "a classe de todas as classes" ( não pode ser construída pois as classes próprias não são "objetos" que podem ser colocados dentro de outras classes).

Notação

Se utiliza letras minúsculas para denotar conjuntos e letras maiúsculas para denotar classes. Assim "$x\in y$" se lê "o conjunto x é elemento de y ," e "$x\in Y$" como "conjunto x é um elemento da classe Y". As definições de igualdades podem assumir as seguintes formas $x=y$ ou $X=Y$ ou ainda $a=A$ para quando $\forall x(x\in a\leftrightarrow x\in A)$ este último sendo um abuso de notação.

Referências

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst, and Strecker, George E (2004) [1990]. Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats) (PDF). New York: Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 
• Bernays, Paul (1991). Axiomatic Set Theory. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 0-48-666637-9 
• Mendelson, Elliott, 1997. An Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. London: Chapman & Hall. ISBN 0412808307. Pp. 225–86 contain the classic textbook treatment of NBG, showing how it does what we expect of set theory, by grounding relations, order theory, ordinal numbers, transfinite numbers, etc.
• Richard Montague, 1961, "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I," in Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, (Warsaw, 2-9 September 1959). Pergamon: 45-69.
• Muller, F. A., 2001, "Sets, classes, and categories," British Journal of the Philosophy of Science 52: 539-73.
• Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press.
• Pudlak, P., 1998, "The lengths of proofs" in Buss, S., ed., Handbook of Proof Theory. North-Holland: 547-637.
• John von Neumann, 1925, "An Axiomatization of Set Theory." English translation in Jean van Heijenoort, ed., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press. 393 - 413