Princípio da Escolha Dependente

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o Princípio da Escolha Dependente ou Axioma da Escolha Dependente (abreviado DC, do inglês Dependent Choice) afirma que, dados um conjunto não-vazio e uma relação binária sobre que satisfaz a condição de que para todo existe para o qual , existe uma seqüência de elementos de tal que para todo . Em linguagem simbólica de primeira ordem, temos

Alguns Resultados Relevantes[editar | editar código-fonte]

O princípio da escolha dependente é demonstrável em ZF, admitindo o axioma da escolha; com efeito, seja um conjunto não-vazio e uma relação binária sobre satisfazendo

Dado , defina ; da hipótese, temos . Tome a família , admitindo o axioma da escolha, existe uma função

satisfazendo para cada . É evidente, portanto, que satisfaz para todo e todo .

Porém, DC não implica o axioma da escolha[1] , sendo portanto uma forma mais fraca de AC. É evidente que DC implica o Axioma da Escolha Enumerável, AC; com efeito seja uma família enumerável de conjuntos não-vazios; defina

Onde é a projeção à i-ésima coordenada. Defina também

Assim, seja tal que, dados , se, e somente se, existir para o qual tenhamos , e para todo , isto é

É evidente que satisfaz

Portanto, existe uma seqüência tal que

para todo natural . Basta agora definir por . É evidente que é uma função escolha em .

Outra aplicação importante do princípio da escolha dependente é na demonstração do Lema de Urysohn e do Teorema de Baire [2] . De fato, Charles E. Blair demonstrou em 1977 [3] que o Teorema de Baire é equivalente a DC, isto é

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  1. Thomas Jech, The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008, ISBN-13: 978-0486466248.
  2. Ambos não prováveis em ZF; ver Consequences of the Axiom of Choice, forma 78.
  3. Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25 (1977), no. 10, 933--934.


Wiki letter w.svg Este artigo é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. Editor: considere marcar com um esboço mais específico.