Princípio da Escolha Dependente

Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o Princípio da Escolha Dependente ou Axioma da Escolha Dependente (abreviado DC, do inglês Dependent Choice) afirma que, dados um conjunto não-vazio $A$ e uma relação binária $R\subseteq A\times A$ sobre $A$ que satisfaz a condição de que para todo $x\in A$ existe $y\in A$ para o qual $\langle x,y\rangle \in R$, existe uma seqüência $\langle x_{n}\rangle _{n\in \omega }$ de elementos de $A$ tal que $\langle x_{i},x_{i+1}\rangle \in R$ para todo $i\in \omega$. Em linguagem simbólica de primeira ordem, temos

$\forall A\left((\exists R\left(R\subseteq A\times A\wedge \forall x(x\in A\rightarrow \exists y(y\in A\wedge \langle x,y\rangle \in R))\right)\rightarrow \exists \langle x_{n}\rangle _{n\in \omega }(\forall i(i\in \omega \rightarrow \langle x_{i},x_{i+1}\rangle \in R)))\right)$

Alguns Resultados Relevantes

O princípio da escolha dependente é demonstrável em ZF, admitindo o axioma da escolha; com efeito, seja $A$ um conjunto não-vazio e $R\subseteq A\times A$ uma relação binária sobre $A$ satisfazendo

$\forall x(x\in A\rightarrow \exists y(y\in A\wedge \langle x,y\rangle \in R)).$

Dado $x\in A$, defina $r(x)=\{y\in A:\langle x,y\rangle \in R\}$; da hipótese, temos $r(x)\neq \emptyset$. Tome a família $\langle r(x)\rangle _{x\in A}$, admitindo o axioma da escolha, existe uma função

$f:A\to \bigcup _{x\in A}r(x)$

satisfazendo $f(x)\in r(x)$ para cada $x\in A$. É evidente, portanto, que $\langle f^{n}(x)\rangle _{n\in \omega }$ satisfaz $\langle f^{i}(x),f^{i+1}(x)\rangle \in R$ para todo $i\in \omega$ e todo $x\in A$.

Porém, DC não implica o axioma da escolha , sendo portanto uma forma mais fraca de AC. É evidente que DC implica o Axioma da Escolha Enumerável, AC$_{\omega }$; com efeito seja $\langle A_{n}\rangle _{n\in \omega }$ uma família enumerável de conjuntos não-vazios; defina

$S_{n}=\{s\in (\bigcup _{k=0}^{n}A_{k})^{n}:\pi _{i}(s)\in A_{i},\forall i\leq n\}$

Onde $\pi _{i}$ é a projeção à i-ésima coordenada. Defina também

$S=\bigcup _{n\in \omega }S_{n}$

Assim, seja $R\subseteq S\times S$ tal que, dados $s,t\in S$, $\langle s,t\rangle \in R$ se, e somente se, existir $n\in \omega$ para o qual tenhamos $s\in S_{n}$, $t\in S_{n+1}$ e $\pi _{i}(s)=\pi _{i}(t)$ para todo $i\leq n$, isto é

$\forall s\forall t(((s\in S)\wedge (t\in S))\rightarrow (\langle s,t\rangle \in R\leftrightarrow \exists n((n\in \omega )\wedge (s\in S_{n})\wedge (t\in S_{n+1})\wedge (\forall i(i\in n\cup \{n\}\rightarrow (\pi _{i}(s)=\pi _{i}(t)\,)))))).$

É evidente que $R$ satisfaz

$\forall x(x\in S\rightarrow \exists y(y\in S\wedge \langle x,y\rangle \in R)).$

Portanto, existe uma seqüência $\langle s_{n}\rangle _{n\in \omega }$ tal que

$\langle s_{i},s_{i+1}\rangle \in R$

para todo natural $i$. Basta agora definir $f:\omega \to \bigcup A_{n}$ por $f(i)=\pi _{i}(s_{i})$. É evidente que $f$ é uma função escolha em $\langle A_{n}\rangle _{n\in \omega }$.

Outra aplicação importante do princípio da escolha dependente é na demonstração do Lema de Urysohn e do Teorema de Baire . De fato, Charles E. Blair demonstrou em 1977 que o Teorema de Baire é equivalente a DC, isto é

$ZF+DC\leftrightarrow ZF+({\text{Teorema de Baire}}).$

Bibliografia

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.