Conjunto difuso

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Na matemática, conjuntos difusos, conjuntos nebulosos ou conjuntos fuzzy, são conjuntos aos quais os elementos têm graus de pertinência. Conjuntos difusos foram apresentados por Lotfi A. Zadeh[1] e Dieter Klaua[2] em 1965 como uma extensão da noção clássica de conjuntos. Ao mesmo tempo, Salii (1965) definiu mais um tipo de estrutura chamada relação-L, que ele estudou em um contexto de algébra abstrata. Relações difusas, que são usadas atualmente em diferentes áreas, como linguística (De Cock, et al., 2000), tomada de decisão (Kuzmin, 1982) and clustering (Bezdek, 1978), são casos especiais de relações-L quando L é um intervalo unitário [0,1].

Em teoria clássica dos conjuntos, a pertinência de elementos a um conjunto é avaliada em termos de acordo binário a uma condição bivalente — um elemento pertence ou não ao conjunto. No entanto, a teoria de conjuntos difusos permite a avaliação gradual da associação de elementos em um conjunto; isto é descrito como um auxílio a função de pertinência valorada no intervalo unitário real [0, 1]. Conjuntos difusos generalizam conjuntos clássicos, uma vez que a função indicadora dos conjuntos clássicos são casos especiais das funções de pertinência dos conjuntos difusos, somente se o último possui valores 0 ou 1.[3] Na teoria dos conjuntos difusos, conjuntos bivalentes clássicos são frequentemente chamados de conjuntos crisp. A teoria dos conjuntos difusos pode ser usada em uma larga escala de domínios em que a informação é incompleta ou imprecisa, tal como bioinformática.[4]

Tem sido sugerido por Thayer Watkins que a etnia de Zadeh é um exemplo de conjunto difuso pois "seu pai era Turco-Iraniano e sua mãe era Russa. Seu pai foi um jornalista em Baku, Azerbaijão e na União Soviética. Lotfi nasceu em Baku em 1921 e viveu lá até sua família se mudar para Tehran em 1931."[5]

Definição[editar | editar código-fonte]

Um conjunto difuso é um par onde é um conjunto e

Para cada o valor de é chamado de grau de pertinência de em Para um conjunto finito o conjunto difuso é frequentemente denotado por

Seja Então, é chamado de não incluso no conjunto difuso se , é chamado totalmente incluso se , e é chamado membro difuso se .[6] O conjunto é chamado de suporte de e o conjunto é chamado seu núcleo. A função é chamada de função de pertinência de um conjunto difuso

Algumas vezes, as variantes mais gerais da noção de difusão são usadas, com as funções de pertinência tomando valores em uma (fixa ou variável) álgebra ou estrutura de um dado tipo; normalmente se é exigido que tenha pelo menos um poset ou reticulado. Estes são normalmente chamados de conjuntos L-difusos, para distingui-los de valores sobre o intervalo unitário. As funções de pertinência usuais com valores em [0, 1] são então chamadas funções de pertinência [0, 1]-valoradas. Esses tipos de generalizações foram primeiramente consideradas em 1967 por Joseph Goguen, que foi um aluno de Zadeh.[7]

Lógica difusa[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lógica difusa

Como uma extensão do caso da lógica multivalorada, valorações () de variáves proposicionais () em um conjunto de graus de pertinência () podem ser consideradas como funções de pertinência mapeando predicados em conjuntos difusos (ou mais formalmente, em um conjunto ordenado de pares difusos, chamado de uma relação difusa). Com essas valorações, a lógica multivalorada pode ser estendida para permitir premissas a partir das quais conclusões gradativas podem ser extraídas.[8]

Esta extensão é às vezes chamada "lógica difusa no sentido estrito" ao contrário da "lógica de sentido amplo," que originou-se nos campos da engenharia de controle automatizado e engenharia de conhecimento, e que engloba muitos tópicos envolvendo conjuntos difusos e "raciocínio aproximado".[9]

Aplicações industriais de conjuntos difusos no contexto de "lógica difusa em um sentido amplo" podem ser encontradas em lógica difusa.

Números difusos[editar | editar código-fonte]

Um número difuso é um conjunto difuso convexo e normalizado em que a função de pertinência é pelo menos segmentalmente contínua e tenha o valor funcional em precisamente um elemento.

Isso pode ser comparado ao jogo chamado "adivinhe seu peso", onde alguém tenta adivinhar o peso do seu oponente com palpites cada vez mais corretos, e o jogador "ganha" se ele ou ela se aproxima o suficiente ao peso do oponente com o peso real completamente correto (mapeando cada um pela função de pertinência).

Intervalo difuso[editar | editar código-fonte]

Um intervalo difuso é um conjunto incerto com um intervalo médio cujos elementos possuem o valor da função de pertinência . Como em números difusos, a função de pertinência deve ser convexa, normalizada, ao menos segmentalmente contínua.[10]

Equação da relação difusa[editar | editar código-fonte]

A equação de relação difusa é uma equação da forma A · R = B, onde A e B são conjuntos difusos, R é uma relação difusa, e A . R representa a composição de A com R.

Definição axiomática de credibilidade[editar | editar código-fonte]

[11] Seja A um conjunto não-vazio e P(A) o conjunto das partes de A. A função de conjunto é conhecida como a medida de credibilidade se ela satisfaz as seguintes condições:

  • Axioma 1:
  • Axioma 2: Se B é um subconjunto de C, então,
  • Axioma 3:
  • Axioma 4: , para todo evento com

Cr{B} indica o quão frequentemente o evento B ocorre.

Teorema de inversão da credibilidade[editar | editar código-fonte]

[12] Seja A uma varíável difusa com a função de pertinência u. Então para todo conjunto B de números reais, temos

Valor esperado[editar | editar código-fonte]

[13] Seja A uma variável difusa. Então o valor esperado é dado como

Entropia[editar | editar código-fonte]

[14] Seja A uma variável difusa com uma função de pertinência contínua. Então sua entropia é

onde

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Existem muitas construções matemáticas semelhantes ou mais gerais que os conjuntos difusos. Desde que os conjuntos difusos foram apresentados em 1965, uma grande quantidade de novas construções matemáticas e teorias de tratamento de imprecisão, inexatidão, ambiguidade e incerteza têm sido desenvolvidas. Algumas dessas construções e teorias são extensões da teoria dos conjuntos difusos, enquanto outras tentam modelar matematicamente a imprecisão e incerteza de diferentes maneiras (Burgin and Chunihin, 1997; Kerre, 2001; Deschrijver and Kerre, 2003).

A diversidade de tais construções e teorias correspondentes incluem:

  • conjuntos de intervalo (Moore, 1966),
  • conjuntos L-fuzzy (Goguen, 1967),
  • conjuntos desfocados (Gentilhomme, 1968),
  • conjuntos difusos boolean-valorados (Brown, 1971),
  • conjuntos difusos tipo-2 e conjuntos difusos tipo-n (Zadeh, 1975),
  • conjuntos com valor de conjunto (Chapin, 1974; 1975),
  • conjuntos difusos com valor de intervalo (Grattan-Guinness, 1975; Jahn, 1975; Sambuc, 1975; Zadeh, 1975),
  • funções como generalizações de conjuntos e multi-conjuntos difusos (Lake, 1976),
  • conjuntos difusos de níveis (Radecki, 1977)
  • conjuntos indeterminados (Narinyani, 1980),
  • conjuntos aproximativos (Pawlak, 1982),
  • conjuntos difusos intuitivos (Atanassov, 1983),
  • multi-conjuntos difusos (Yager, 1986),
  • conjuntos L-difusos intuitivos (Atanassov, 1986),
  • multi-conjuntos aproximativos (Grzymala-Busse, 1987),
  • conjuntos difusos aproximativos (Nakamura, 1988),
  • conjuntos difusos real-valorados (Blizard, 1989),
  • conjuntos vagos (Wen-Lung Gau and Buehrer, 1993),
  • conjuntos-Q (Gylys, 1994)
  • conjuntos sombreados (Pedrycz, 1998),
  • conjuntos nível-'alfa' (Yao, 1997),
  • conjuntos genuínos (Demirci, 1999),
  • conjuntos suaves (Molodtsov, 1999),
  • conjuntos difusos aproximativos e intuitivos (Cornelis, De Cock and Kerre, 2003)
  • conjuntos embassados (Smith, 2004)
  • conjuntos L-difusos aproximativos (Radzikowska and Kerre, 2004),
  • conjuntos difusos aproximativos generalizados (Feng, 2010)
  • conjuntos difusos aproximativos intuitivos (Thomas and Nair, 2011),
  • conjuntos difusos suavemente aproximativos (Meng, Zhang and Qin, 2011)
  • conjuntos aproximativos suavemente difusos (Meng, Zhang and Qin, 2011)
  • multiconjuntos suaves (Alkhazaleh, Salleh and Hassan, 2011)
  • multiconjuntos suaves fuzzy (Alkhazaleh and Salleh, 2012)

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets". Information and Control 8 (3) 338–353.
  2. Klaua, D. (1965) Über einen Ansatz zur mehrwertigen Mengenlehre. Monatsb. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin 7, 859–876. A recent in-depth analysis of this paper has been provided by Gottwald, Siegfried (16 de setembro de 2010). «An early approach toward graded identity and graded membership in set theory». Fuzzy Sets and Systems. 161 (18): 2369-2379. doi:10.1016/j.fss.2009.12.005 
  3. D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.
  4. Lily R. Liang, Shiyong Lu, Xuena Wang, Yi Lu, Vinay Mandal, Dorrelyn Patacsil, and Deepak Kumar, "FM-test: A Fuzzy-Set-Theory-Based Approach to Differential Gene Expression Data Analysis", BMC Bioinformatics, 7 (Suppl 4): S7. 2006.
  5. "Fuzzy Logic: The Logic of Fuzzy Sets"
  6. AAAI
  7. Goguen, Joseph A., 196, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174
  8. Siegfried Gottwald, 2001. A Treatise on Many-Valued Logics. Baldock, Hertfordshire, England: Research Studies Press Ltd., ISBN 978-0-86380-262-1
  9. "The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning," Information Sciences 8: 199–249, 301–357; 9: 43–80.
  10. "Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility," Fuzzy Sets and Systems 1: 3–28
  11. Liu, Baoding. "Uncertain theory: an introduction to its axiomatic foundations." Berlin: Springer-Verlag (2004).
  12. Liu, Baoding, and Yian-Kui Liu. "Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models." Fuzzy Systems, IEEE Transactions on 10.4 (2002): 445-450.
  13. Liu, Baoding, and Yian-Kui Liu. "Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models." Fuzzy Systems, IEEE Transactions on 10.4 (2002): 445-450.
  14. Xuecheng, Liu. "Entropy, distance measure and similarity measure of fuzzy sets and their relations." Fuzzy sets and systems 52.3 (1992): 305-318.

Leituras futuras[editar | editar código-fonte]

  • Alkhazaleh, S. and Salleh, A.R. Fuzzy Soft Multiset Theory, Abstract and Applied Analysis, 2012, article ID 350600, 20 p.
  • Alkhazaleh, S., Salleh, A.R. and Hassan, N. Soft Multisets Theory, Applied Mathematical Sciences, v. 5, No. 72, 2011, pp. 3561–3573
  • Atanassov, K. T. (1983) Intuitionistic fuzzy sets, VII ITKR's Session, Sofia (deposited in Central Sci.-Technical Library of Bulg. Acad. of Sci., 1697/84) (in Bulgarian)
  • Atanasov, K. (1986) Intuitionistic Fuzzy Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 20, No. 1, pp. 87–96
  • Bezdek, J.C. (1978) Fuzzy partitions and relations and axiomatic basis for clustering, Fuzzy Sets and Systems, v.1, pp. 111–127
  • Blizard, W.D. (1989) Real-valued Multisets and Fuzzy Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 33, pp. 77–97
  • Brown, J.G. (1971) A Note on Fuzzy Sets, Information and Control, v. 18, pp. 32–39
  • Chapin, E.W. (1974) Set-valued Set Theory, I, Notre Dame J. Formal Logic, v. 15, pp. 619–634
  • Chapin, E.W. (1975) Set-valued Set Theory, II, Notre Dame J. Formal Logic, v. 16, pp. 255–267
  • Chris Cornelis, Martine De Cock and Etienne E. Kerre, Intuitionistic fuzzy rough sets: at the crossroads of imperfect knowledge, Expert Systems, v. 20, issue 5, pp. 260–270, 2003
  • Cornelis, C., Deschrijver, C., and Kerre, E. E. (2004) Implication in intuitionistic and interval-valued fuzzy set theory: construction, classification, application, International Journal of Approximate Reasoning, v. 35, pp. 55–95
  • Martine De Cock, Ulrich Bodenhofer, and Etienne E. Kerre, Modelling Linguistic Expressions Using Fuzzy Relations, (2000) Proceedings 6th International Conference on Soft Computing. Iizuka 2000, Iizuka, Japan (1–4 October 2000) CDROM. p. 353-360
  • Demirci, M. (1999) Genuine Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 105, pp. 377–384
  • Deschrijver, G. and Kerre, E.E. On the relationship between some extensions of fuzzy set theory, Fuzzy Sets and Systems, v. 133, no. 2, pp. 227–235, 2003
  • Didier Dubois, Henri M. Prade, ed. (2000). Fundamentals of fuzzy sets. Col: The Handbooks of Fuzzy Sets Series. 7. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-7923-7732-0 
  • Feng F. Generalized Rough Fuzzy Sets Based on Soft Sets, Soft Computing, July 2010, Volume 14, Issue 9, pp 899–911
  • Gentilhomme, Y. (1968) Les ensembles flous en linguistique, Cahiers Linguistique Theoretique Appliqee, 5, pp. 47–63
  • Gogen, J.A. (1967) L-fuzzy Sets, Journal Math. Analysis Appl., v. 18, pp. 145–174
  • Gottwald, Siegfried (1 de março de 2006). «Universes of Fuzzy Sets and Axiomatizations of Fuzzy Set Theory. Part I: Model-Based and Axiomatic Approaches». Studia Logica (em inglês). 82 (2): 211-244. ISSN 0039-3215. doi:10.1007/s11225-006-7197-8 
  • Gottwald, Siegfried (20 de outubro de 2006). «Universes of Fuzzy Sets and Axiomatizations of Fuzzy Set Theory. Part II: Category Theoretic Approaches». Studia Logica (em inglês). 84 (1): 23-50. ISSN 0039-3215. doi:10.1007/s11225-006-9001-1 
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  • Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh, ed. (1999). Mathematics of fuzzy sets: logic, topology, and measure theory. Col: The Handbooks of Fuzzy Sets Series. 3. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-7923-8388-8 
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  • George J. Klir; Bo Yuan (1995). Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. [S.l.]: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-101171-7 
  • Kuzmin,V.B. Building Group Decisions in Spaces of Strict and Fuzzy Binary Relations, Nauka, Moscow, 1982 (in Russian)
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  • Miyamoto, S. Fuzzy Multisets and their Generalizations, in 'Multiset Processing', LNCS 2235, pp. 225–235, 2001
  • Molodtsov, O. (1999) Soft set theory – first results, Computers & Mathematics with Applications, v. 37, No. 4/5, pp. 19–31
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  • Nakamura, A. (1988) Fuzzy rough sets, 'Notes on Multiple-valued Logic in Japan', v. 9, pp. 1–8
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  • Radecki, T. Level Fuzzy Sets, 'Journal of Cybernetics', Volume 7, Issue 3-4, 1977
  • Radzikowska, A.M. and Etienne E. Kerre, E.E. On L-Fuzzy Rough Sets, Artificial Intelligence and Soft Computing - ICAISC 2004, 7th International Conference, Zakopane, Poland, June 7–11, 2004, Proceedings; 01/2004
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  • Thomas, K.V. and L. S. Nair, Rough intuitionistic fuzzy sets in a lattice, 'International Mathematical Forum', Vol. 6, 2011, no. 27, 1327 - 1335
  • Yager, R. R. (1986) On the Theory of Bags, International Journal of General Systems, v. 13, pp. 23–37
  • Yao, Y.Y., Combination of rough and fuzzy sets based on α-level sets, in: Rough Sets and Data Mining: Analysis for Imprecise Data, Lin, T.Y. and Cercone, N. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, Boston, pp. 301–321, 1997.
  • Y. Y. Yao, A comparative study of fuzzy sets and rough sets, Information Sciences, v. 109, Issue 1-4, 1998, pp. 227 – 242
  • Zadeh, L. (1975) The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning–I, Inform. Sci., v. 8, pp. 199–249
  • Hans-Jürgen Zimmermann (2001). Fuzzy set theory—and its applications 4th ed. [S.l.]: Kluwer. ISBN 978-0-7923-7435-0 
  • Gianpiero Cattaneo and Davide Ciucci, "Heyting Wajsberg Algebras as an Abstract Environment Linking Fuzzy and Rough Sets" in J.J. Alpigini et al. (Eds.): RSCTC 2002, LNAI 2475, pp. 77–84, 2002. doi:10.1007/3-540-45813-1_10

Links externos[editar | editar código-fonte]