Topologia grosseira

Em topologia, um espaço topológico X diz-se grosseiro, trivial ou indiscreto se os seus únicos abertos são o conjunto vazio e o próprio X.

Um espaço topológico é um conjunto com uma estrutura a mais; esta estrutura é que permite definir, neste conjunto, o que são funções contínuas.

Existem várias definições equivalentes do conceito de espaço topológico. A forma mais usual ^{[carece de fontes]} é definir esta estrutura sobre o conjunto X como um outro conjunto T, cujos elementos são subconjuntos de X, chamados de conjuntos abertos, e que satisfaz determinados axiomas, dentre os quais que $X\in T\,$ e $\varnothing \in T\,$. A topologia grosseira é a "menor" topologia possível, ou seja, é aquela em que apenas X e $\varnothing \,$ são conjuntos abertos.

Por ser cada topologia um conjunto, eles podem ser parcialmente ordenados por inclusão, ou seja, é possível definir quando uma topologia é mais grosseira que outra ou, inversamente, quando uma topologia é mais fina que outra. Uma topologia T é mais grosseira que T' (ou seja, T' é mais fina que T) quando $T\subset T'\,$ Uma topologia mais grosseira tem menos conjuntos abertos do que uma topologia mais fina. A topologia grosseira tem este nome por ser mais grosseira que qualquer outra topologia. Analogamente, no outro extremo existe a topologia discreta, que é mais fina que todas outras.

Propriedades

• Se um espaço grosseiro tem pelo menos dois pontos distintos x e y, então estes pontos (e quaisquer outros dois pontos) são topologicamente indistinguíveis, ^{[carece de fontes]} portanto este espaço não é T₀.
• Todo espaço grosseiro é conexo.
• Todo espaço grosseiro é compacto.
• Se X é um espaço grosseiro contendo ao menos dois pontos, e S é um subconjunto não vazio, então todo ponto p de X é um ponto limite de S.
• Toda função cujo contradomínio é um espaço grosseiro é uma função contínua.

Ver também

• Topologia discreta