Topologia grosseira

Em topologia, um espaço topológico diz-se grosseiro, trivial ou indiscreto se os seus únicos abertos são o conjunto vazio e o próprio X.

Um espaço topológico é um conjunto com uma estrutura a mais; esta estrutura é que permite definir, neste conjunto, o que são funções contínuas.

Existem várias definições equivalentes do que seja um espaço topológico. A forma mais usual ^{[carece de fontes]} é definir esta estrutura sobre o conjunto X como um outro conjunto T, cujos elementos são subconjuntos de X, chamados de conjuntos abertos, e que satisfaz determinados axiomas, dentre os quais que $X\in T\,$$X\in T\,$ e $\varnothing \in T\,$$\varnothing \in T\,$. A topologia grosseira é a "menor" topologia possível, ou seja, é aquela em que apenas X e $\varnothing \,$$\varnothing \,$ são conjuntos abertos.

Por ser cada topologia um conjunto, eles podem ser parcialmente ordenados por inclusão, ou seja, é possível definir quando uma topologia é mais grosseira que outra ou, inversamente, quando uma topologia é mais fina que outra. Uma topologia T é mais grosseira que T' (ou seja, T' é mais fina que T) quando $T\subset T'\,$$T\subset T'\,$ Uma topologia mais grosseira tem menos conjuntos abertos do que uma topologia mais fina. A topologia grosseira tem este nome por ser mais grosseira que qualquer outra topologia. Analogamente, no outro extremo existe a topologia discreta, que é mais fina que todas outras.

Propriedades

Um espaço grosseiro:

• Se o espaço X tem pelo menos dois pontos distintos x e y, então estes pontos (e quaisquer outros dois pontos) são topologicamente indistinguíveis.^{[carece de fontes]} Ou seja, este espaço não é T₀.
• é conexo
• é compacto
• Seja p um ponto qualquer do espaço X e S um subconjunto de X. Diz-se que p é um ponto limite de S quando qualquer aberto da topologia que contenha p também contém outro ponto de S distinto de p. Na topologia indiscreta, para todo subconjunto S com pelo menos um elemento, todo ponto p do espaço X (exceto no caso de S = { p } ) é um ponto limite de S.
• Toda função cujo contradomínio é a topologia indiscreta é uma função contínua.

Ver também

• Topologia discreta