Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder

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Em teoria de conjuntos, o Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder, assim chamado em homenagem a Georg Cantor, Felix Bernstein e Ernst Schröder, estabelece que se existem funções injetivas f : AB e g : BA entre os conjuntos A e B, então existe uma função bijetiva h : AB. Em termos da cardinalidade dos dois conjuntos, isso significa que se |A| ≤ |B| e |B| ≤ |A|, então |A| = |B|; A e B são ditos "equipolentes". Essa é obviamente uma propriedade muito útil para a ordenação de números cardinais.

Este teorema não depende do axioma da escolha.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Esta demonstração faz uso do conjunto dos números naturais, cuja existência é um dos axiomas da Teoria dos Conjuntos (o axioma do infinito)[1]

Para cada definimos , por , composição de n fatores iguais a . Observamos que . Note que o fato de e serem injetivas implica a injetividade de .

Agora consideramos , dado por

.

Note que se , então tomando segue que , ou seja, . Equivalentemente, se temos que .

Por outro lado, observamos que dado , se tivermos , então e ocorre . De fato, se então existe tal que . É claro que e nesse caso podemos escrever

.

Logo , donde segue que .

Para concluir definimos pondo se e se . Note que está bem definida, pois g é injetiva e se então , como já observamos. Ademais, é injetiva, haja vista que dados temos as seguintes possibilidades: (os dois estão em X); (os dois estão no complementar de X) ou (um está em X e outro fora). Nos dois primeiros casos a igualdade implica , devido à injetividade de e de . No último, tal igualdade implicaria de onde teríamos . Porém, como existe tal que . Logo, , ou seja, . Isso implica , o que é uma contradição. Portanto, isso conclui a verificação da injetividade de H.

Por fim, dado temos duas possibilidades: ou . No primeiro caso, temos que e no segundo caso, como foi observado, teremos que e daí, . Portanto, H trata-se de uma bijeção.

Demonstração de Banach[editar | editar código-fonte]

Stefan Banach observou que o que a demonstração acima faz é decompor cada conjuntos A e B em duas partes disjuntas, de forma que a função f transforma (bijetivamente) uma parte de A em uma parte de B, e g-1 transforma (bijetivamente) a outra parte de A na outra parte de B.[2]

Mais precisamente:

Sejam A e B conjuntos, uma função injetiva e uma função sobrejetiva. Então é possível particionar , , com e de forma que f e G quando restritas, respectivamente, a A1 e A2 sejam bijeções, respectivamente, com B1 e B2.

O teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder segue imediatamente como corolário, porque sendo injetiva, então é a função bijetiva definida pela injetividade de g.

A demostração encontra-se na referência[2]

Referências

Links externos[editar | editar código-fonte]