Ultrafiltro

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Em matemática, especialmente na Teoria da ordem e na Teoria de conjuntos, um ultrafiltro é um filtro próprio maximal, ou seja, um filtro próprio que não está estritamente contido num outro filtro próprio. Ultrafiltros têm aplicações em topologia, teoria de modelos e outras áreas da matemática.

Definições[editar | editar código-fonte]

Em teoria de conjuntos, seja um conjunto não vazio e o conjunto de partes de . Um ultrafiltro tem as seguintes propriedades[1]:

Diagrama de Hasse do ultrafiltro principal gerado por {x}

Ou seja, é um filtro. Além disso, é próprio:

Ou, equivalentemente:

Por último, é maximal:

Equivalentemente, em teoria da ordem ultrafiltros são filtros maximais. Ultrafiltros tem particular importância em reticulados e Álgebra de Boole. Dado um reticulado um ultrafiltro é um conjunto não vazio, estritamente contido em , definido por[2]:

Numa álgebra de Boole com máximo e mínimo , às condições anteriores são acrescentadas:

Em álgebras de Boole, ultrafiltro é o conceito dual do ideal maximal.

Ultrafiltros em álgebras de Boole[editar | editar código-fonte]

Em uma álgebra de Boole um filtro e denominado primo se satisfaz[3]:

Como pela condição 5, para cada temos que , de modo que a condição acima é equivalente a:

  • [4]

Além disso, pode ser demonstrado que em toda álgebra de Boole um filtro é primo se e somente se é um ultrafiltro[5], ou seja, as noções de filtro primo e ultrafiltro são equivalentes em álgebras de Boole e por isso alguns autores definem ultrafiltro não como um filtro maximal, mas como um filtro primo[6].

Teorema do ultrafiltro[editar | editar código-fonte]

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel com axioma da escolha, ZFC pode ser demonstrado o Teorema do ultrafiltro, cujo enunciado habitual é: "Todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro"[7], que abreviaremos TU. Ou seja, dada uma álgebra de Boole e um filtro , existe um ultrafiltro tal que . Devido à dualidade das álgebras de Boole TU é equivalente ao Teorema do ideal primo: "todo ideal numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ideal primo"[8]. Em ZF (sem o Axioma da escolha, AE) TU não pode ser demonstrado, se ZF é consistente. Entretanto, TU é estritamente mais fraco que AE em ZF:

[9]

Em álgebras de Boole, TU é equivalente a "toda álgebra de Boole contém um ultrafiltro".

Referências

  1. DRAKE (1974), p. 64 e COMFORT NEGREPONTIS (1974), p. 143.
  2. MONK (2004), p. 14. Ver também BURRIS SANKAPPANAVAR (1981), pp. 142−143 e 148.
  3. POGORZELSKI WOJTYLAK (2008), p. 12.
  4. Essa propriedade pode ser usada para uma definição alternativa de ultrafiltro, como em KOPPELBERG (1989), p. 32.
  5. MONK (2004), p. 14, e BURRIS SANKAPPANAVAR (1981), pp. 148−149.
  6. Por exemplo: LEVY (2002), p. 253.
  7. DRAKE (1974), p. 64.
  8. LEVY (2002), p. 256.
  9. HALPERN LEVY (1971).

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • BURRIS, S.; SANKAPPANAVAR, H.P (1981). A course in universal algebra (em inglês) (New York: Springer). 
  • COMFORT, W.W.; NEGREPONTIS, S (1974). The theory of ultrafilters (em inglês) (New York: Springer). 
  • DRAKE, Frank R (1974). Set theory: An introduction to large cardinals (em inglês) (Amsterdam: North-Holland). 
  • HALPERN, J.D.; LEVY, A. (1971). "The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice". Proceedings of the Symposium in Pure Mathenatics 1967. Volume XIII. Part I: 83−134.
  • KOPPELBERG, Sabine (1989). General Theory of Boolean Algebras (em inglês) (Amsterdam: North-Holland). . Volume I de MONK BONNET (1989).
  • LAWSON, M.V (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries (em inglês) World Scientific [S.l.] ISBN 9789810233167. 
  • LEVY, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês) (Mineola, New York: Dover). 
  • MONK, J. Donald; BONNET, Robert (1989,). Handbook of Boolean Algebras (em inglês) (Amsterdam: North-Holland). 
  • POGORZELSKI, W.; WOJTYLAK, P (2008). Completeness theory for propositional logics (em inglês) (Basel: Birkhäuser). 
  • SIKORSKI, Roman (1969). Boolean Algebras (em inglês) (Heildelberg: Springer Verlag). 
  • STANLEY, R.P (2002). Enumerative combinatorics (em inglês) (Cambridge: Cambridge University Press). ISBN 9780521663519. 

Veja também[editar | editar código-fonte]

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