Filtro (teoria dos conjuntos)

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Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um filtro F^{\,} em um conjunto S^{\,} é uma coleção de subconjuntos de S^{\,}, ou seja, F \subset \mathcal{P} \left( S \right)\,, satisfazendo as seguintes condições:

  • \varnothing \notin F\,
  • S \in F\,
  • A, B \in F \rightarrow A \cap B \in F\,
  • A \in F, A \subset B \rightarrow B \in F\,

Por vezes, a definição não inclui a propriedade \varnothing \notin F\,. Com essa definição, os filtros com esta propriedade chamam-se filtros próprios.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Reticulados e álgebras de Boole[editar | editar código-fonte]

Analogamente, em reticulados L um filtro F^{\,} é um conjunto não vazio de elementos de L definido por:

  • a, b \in F \rightarrow a \wedge b \in F\,
  • a \in F, a \le b \rightarrow b \in F\,

Numa álgebras de Boole com máximo 1\!\mbox{I} e mínimo  \mathbb{O}, às condições anteriores são acrescentadas:

  •  \mathbb{O} \not \in F
  •  1\!\mbox{I} \in F

Em álgebras de Boole, o filtro é o conceito dual do ideal.

Filtros principais[editar | editar código-fonte]

Se um filtro  F^{\,} sobre  A^{\,} tem a forma:

 F = \left\{ x \in A \! : x \ge a \right\}

com  a \in A , então  F^{\,} é o filtro principal gerado por  a^{\,} . Numa álgebra de Boole finita todo filtro é principal.

Um exemplo de filtro não principal é o "filtro de Frechet":

 F = \left\{ x \in \mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right) \! : x \mbox{ é cofinito } \right\}

Um conjunto  x \subseteq \mathbb{N} é denominado cofinito se o seu complemento relativo a  \mathbb{N} é finito, ou seja  \mathbb{N} - x é finito. Por exemplo:

 C = \left\{ x \in \mathbb{N} \! : x > 7 \right\}

é cofinito, pois o seu complemento é:

 D = \left\{ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 \right\}

e  \;\;D^{\,} é finito.

Ultrafiltros[editar | editar código-fonte]

Um ultrafiltro  \,U^{\,} é um filtro maximal, no seguinte sentido: não existe um filtro  F^{\,} tal que U \subset F\,. Por exemplo, seja  A um conjunto não vazio com  a \in A :

 U = \left\{ x \in \mathcal{P}\! \left( A \right) \! : a \in x \right\}

é um ultrafiltro. Nesse caso,  U^{\,} é o ultrafiltro principal, gerado por  a^{\,} . Analogamente, se  A^{\,} é uma álgebra de Boole e  a^{\,} é um átomo em  A , então  U = \left\{ x \in A \! : a \le x \right\} é o ultrafiltro principal gerado por  a .

Usando o axioma da escolha pode ser demonstrado que o todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro. Usando esse resultado, o filtro de Frechet pode ser estendido a um ultrafiltro, demonstrando a existência de ultrafiltros não principais.

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