Filtro (teoria dos conjuntos)

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Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um filtro em um conjunto é uma coleção de subconjuntos de , ou seja, , satisfazendo as seguintes condições:

Por vezes, a definição não inclui a propriedade . Com essa definição, os filtros com esta propriedade chamam-se filtros próprios.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Reticulados e álgebras de Boole[editar | editar código-fonte]

Analogamente, em reticulados L um filtro é um conjunto não vazio de elementos de L definido por:

Numa álgebras de Boole com máximo e mínimo , às condições anteriores são acrescentadas:

Em álgebras de Boole, o filtro é o conceito dual do ideal.

Filtros principais[editar | editar código-fonte]

Se um filtro sobre tem a forma:

com , então é o filtro principal gerado por . Numa álgebra de Boole finita todo filtro é principal.

Um exemplo de filtro não principal é o "filtro de Frechet":

Um conjunto é denominado cofinito se o seu complemento relativo a é finito, ou seja é finito. Por exemplo:

é cofinito, pois o seu complemento é:

e é finito.

Ultrafiltros[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Ultrafiltro

Um ultrafiltro é um filtro maximal, no seguinte sentido: não existe um filtro tal que . Por exemplo, seja um conjunto não vazio com :

é um ultrafiltro. Nesse caso, é o ultrafiltro principal, gerado por . Analogamente, se é uma álgebra de Boole e é um átomo em , então é o ultrafiltro principal gerado por .

Usando o axioma da escolha pode ser demonstrado que o todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro. Usando esse resultado, o filtro de Frechet pode ser estendido a um ultrafiltro, demonstrando a existência de ultrafiltros não principais.

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