Desigualdade de martingale de Doob

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Na matemática, a desigualdade de martingale de Doob é um resultado no estudo dos processos estocásticos. Esta dá um limite sobre a probabilidade de que um processo estocástico exceda qualquer dado valor sobre um dado intervalo de tempo. Como o nome sugere, o resultado é geralmente dado no caso em que o processo é um martingale negativo, mas o resultado também é válido para submartingales não negativos.

A desigualdade recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob.[1]

Afirmação da desigualdade[editar | editar código-fonte]

Considere um submartingale que assume valores reais não negativos, seja em tempo discreto, seja em tempo contínuo. Isto é, para todos os tempos e com :

Para um submartingale de tempo contínuo, assume-se posteriormente que o processo é càdlàg. Então, para qualquer constante ,

Acima, como é convencional, denota a medida de probabilidade no espaço amostral do processo estocástico:

e denota o valor esperado com respeito à medida de probabilidade , isto é, a integral

no sentido da integração de Lebesgue. denota a sigma-álgebra gerada por todas as variáveis aleatórias com . A coleção de tais sigma-álgebras forma uma filtração do espaço de probabilidade.[2]

Desigualdades posteriores[editar | editar código-fonte]

Há desigualdades de (sub)martingale posteriores que também se devem a Doob. Com os mesmos pressupostos sobre como acima, considere:

e, para , considere:

Nesta notação, a desigualdade de Doob como afirmada acima lê:

As seguintes desigualdade também se aplicam: para ,

e, para ,

[3]

Desigualdades relacionadas[editar | editar código-fonte]

A desigualdade de Doob para martingales de tempo discreto implica a desigualdade de Kolmogorov: se for uma sequência de variáveis aleatórias independentes de valores reais, cada uma com média zero, fica claro que:

de modo que é um martingale. Note que a desigualdade de Jensen implica que é um submartingale não negativo se for um martingale. Assim, assumindo na desigualdade de martingale de Doob,

que é precisamente a afirmação da desigualdade de Kolmogorov.[3]

Aplicação no movimento browniano[editar | editar código-fonte]

Considere que denota um movimento browniano unidimensional canônico. Então,

A prova é como segue: já que a função exponencial é monotonamente crescente, para qualquer não negativo,

Pela desigualdade de Doob e, já que a exponencial do movimento browniano é um submartingale positivo,

Já que o lado esquerdo não depende de , escolhe-se para minimizar o lado direito. dá a desigualdade desejada.[4]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Doob, Joseph L. (2001). «Elements of Martingale Theory». Springer. Classics in Mathematics (em inglês): 432–462. ISBN 9783540412069. doi:10.1007/978-3-642-56573-1_22 
  2. Hazewinkel, Michiel (1994). «Martingale». Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Dordrecht: Reidel. ISBN 9781556080104. OCLC 16755499 
  3. a b Sun, Rongfeng. «Martingales» (PDF). National University of Singapore 
  4. Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Continuous martingales and Brownian motion 3 ed. Berlin: Springer. ISBN 3540643257. OCLC 40481166