Tempo local (matemática)

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Uma amostra de um trajeto de um processo Itō junto com sua superfície de tempos locais.

Na teoria matemática dos processos estocásticos, o tempo local é um processo estocástico associado a processos de difusão como o movimento browniano, que caracteriza a quantidade de tempo que uma partícula dispende em determinado nível.[1] O tempo local aparece em várias fórmulas de integração estocástica se o integrando não é suficientemente derivável, tal como a fórmula de Tanaka.[2][3][4] Também é estudado em mecânica estatística no contexto de campos aleatórios.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Para um processo de difusão real , o tempo local de até o ponto é um processo estocástico. Matematicamente, a definição de tempo local é:

,

onde é o processo de difusão e é a função delta de Dirac. É uma noção inventada por Paul Lévy. A idéia básica é que é uma medida (reescalonada) de quanto tempo dispendeu em até o momento . Pode ser escrito como:

,

que explica porque é chamado de tempo local de em . Para um processo de espaço de estado discreto , o tempo local pode ser expresso de forma mais simples como:[5]

.

Fórmula de Tanaka[editar | editar código-fonte]

A fórmula de Tanaka fornece uma definição de tempo local para um semimartingale contínuo arbitrário em :[6]

.

Uma forma mais geral foi provada independentemente por Meyer[7] e Wang;[8] a fórmula estende o lema de Itô para duas funções diferenciáveis para uma classe mais geral de funções. Se é absolutamente contínuo com a derivada , que é de variação limitada, então:

,

onde é a derivada esquerda.

Se é um movimento browniano, então para qualquer o campo de tempos locais tem uma modificação que é Hölder contínua em com expoente , uniformemente para e .[9] Em geral, tem uma modificação que é contínua em e càdlàg em .

A Fórmula de Tanaka fornece a forma explícita decomposição de Doob-Meyer para o movimento browniano refletido unidimensional, .

Teoremas Ray–Knight[editar | editar código-fonte]

O campo de tempos locais associado a um processo estocástico no espaço é um tema bem estudado na área de campos aleatórios. Os teoremas do tipo Ray-Knight relacionam o campo com um processo Gaussiano associado.

Em geral, os teoremas Ray-Knight do primeiro tipo consideram o campo em um momento de batimento do processo subjacente, enquanto que os teoremas do segundo tipo são em termos de um tempo de parada no qual o campo de tempos locais primeiro excede um dado valor.

Primeiro teorema de Ray–Knight[editar | editar código-fonte]

Seja um movimento browniano unidimensional , e um movimento browniano bidimensional padrão . Para definir o tempo de parada em que primeiro atinge a origem, , Ray[10] e Knight[11] (independentemente) mostraram que,

onde é o campo dos tempos locais de , e a igualdade está na distribuição . O processo é conhecido como o processo de Bessel ao quadrado.

Segundo teorema Ray–Knight[editar | editar código-fonte]

Seja um movimento browniano unidimensional padrão , e seja um campo associado dos tempos locais. Seja a primeira vez em que o tempo local em zero excede

Seja um movimento browniano unidimensional independente , então[12]

Equivalentemente, o processo (que é um processo na variável espacial ) é igual na distribuição ao quadrado de um processo de Bessel de dimensão 0, e como tal é markoviano.

Generalização dos teoremas de Ray–Knight[editar | editar código-fonte]

Os resultados do tipo Ray-Knight para processos estocásticos mais gerais têm sido intensamente estudados e as declarações (1) e (2) são conhecidos por processos Markov fortemente simétricos.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. A. N. Borodin; Brownian local time; Russian Mathematical Surveys; Volume 44, Number 2; doi: 10.1070/RM1989v044n02ABEH002050
  2. Mihai Gradinaru, Bernard Roynette, Pierre Vallois and Marc Yor; The laws of Brownian local time integrals - hal.inria.fr (em inglês)
  3. Lin, Qian; Local time and Tanaka formula for G-Brownian Motion; Finance and Insurance-Stochastic Analysis and Practical Methods, Jena, March 06, 2009 - cdsweb.cern.ch
  4. Robert J. Adler and Marica Lewin; Local time and Tanaka formulae for super Brownian and super stable processes; Stochastic Processes and their Applications; Volume 41, Issue 1, May 1992, Pages 45-67; doi:10.1016/0304-4149(92)90146-H
  5. Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. [S.l.]: Springer 
  6. Kallenberg (1997). Foundations of Modern Probability. New York: Springer. pp. 428–449. ISBN 0387949577 
  7. Meyer, P. A. (2002) [1976]. «Un cours sur les intégrales stochastiques». Séminaire de probabilités 1967–1980. Col: Lect. Notes in Math. 1771. [S.l.: s.n.] pp. 174–329. doi:10.1007/978-3-540-45530-1_11 
  8. Wang (1977). «Generalized Itô's formula and additive functionals of Brownian motion». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. 41: 153–159. doi:10.1007/bf00538419 
  9. Kallenberg (1997). Foundations of Modern Probability. New York: Springer. 370 páginas. ISBN 0387949577 
  10. Ray, D. (1963). «Sojourn times of a diffusion process». Illinois Journal of Mathematics. 7 (4): 615–630. MR 0156383. Zbl 0118.13403 
  11. Knight, F. B. (1963). «Random walks and a sojourn density process of Brownian motion». Transactions of the American Mathematical Society. 109 (1): 56–86. doi:10.2307/1993647. JSTOR 1993647 
  12. Marcus; Rosen (2006). Markov Processes, Gaussian Processes and Local Times. New York: Cambridge University Press. pp. 53–56. ISBN 0521863007 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8.
  • P.Mortars and Y.Peres, Brownian Motion, 1st edition, 2010, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8.