Passeio aleatório de tempo contínuo

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Na matemática, um passeio aleatório de tempo contínuo (PATC) é uma generalização de um passeio aleatório em que a partícula errante espera por um tempo aleatório entre os saltos.[1] É um processo de salto estocástico com distribuições arbitrárias de comprimentos de salto e tempos de parada.[2] De forma mais generalizada, pode ser visto como um caso especial de um processo de renovação de Markov.

Motivação[editar | editar código-fonte]

O PATC foi introduzido pelos matemáticos norte-americanos Elliott Waters Montroll e George Herbert Weiss em 1965 como uma generalização do processo de difusão física para descrever efetivamente a difusão anômala, isto é, os casos superdifusivo e subdifusivo.[3] Uma formulação equivalente do PATC é dada por equações mestre generalizadas.[4] Uma conexão entre PATCs e equações de difusão com derivadas de tempo fracionárias foi estabelecida. De forma semelhante, equações de difusão fracionárias de tempo-espaço podem ser consideradas PATCs com saltos continuamente distribuídos ou aproximações em continuidade de PATCs em reticulados.

Formulação[editar | editar código-fonte]

Uma formulação simples de um PATC consiste em considerar o processo estocástico definido por:

cujos incrementos são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas que assumem valores em um domínio , sendo o número de saltos no intervalo . A probabilidade de que o processo assuma o valor no tempo é dada por:

Aqui, é a probabilidade que o processo assuma o valor depois de saltos e é a probabilidade de ter saltos depois do tempo .[5]

Fórmula de Montroll–Weiss[editar | editar código-fonte]

Denotamos por o tempo de espera entre dois saltos de e por sua distribuição. A transformada de Laplace de é definida por:

De forma semelhante, a função característica da distribuição de saltos é dada por sua transformada de Fourier:

Pode-se mostrar que a transformada de Laplace–Fourier da probabilidade é dada por:

Esta é a chamada fórmula de Montroll–Weiss.[6]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O processo de Wiener é o exemplo padrão de um passeio aleatório de tempo contínuo no qual os tempos de espera são exponenciais e os saltos são contínuos e normalmente distribuídos.[7]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Hilfer, R. (1995). «Fractional master equations and fractal time random walks». Physical Review E. 51 (2): R848–R851. doi:10.1103/physreve.51.r848. Consultado em 28 de fevereiro de 2018. 
  2. Klages, Rainer; Radons, Günter; Sokolov, Igor M. (2008). Anomalous Transport: Foundations and Applications (em inglês). Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons. ISBN 9783527622986. Consultado em 28 de fevereiro de 2018. 
  3. Montroll, Elliott; Weiss, George (1965). «Random Walks on Lattices. II». Journal of Mathematical Physics. Consultado em 28 de fevereiro de 2018. 
  4. Kenkre, V. M.; Montroll, E. W.; Shlesinger, M. F. (1973). «Generalized master equations for continuous-time random walks». Journal of Statistical Physics (em inglês). 9 (1): 45–50. ISSN 0022-4715. doi:10.1007/bf01016796. Consultado em 28 de fevereiro de 2018. 
  5. Gorenflo, Rudolf; Mainardi, Francesco; Vivoli, Alessandro (2005). «Continuous-time random walk and parametric subordination in fractional diffusion». Chaos, Solitons & Fractals. 34 (1): 87–103. doi:10.1016/j.chaos.2007.01.052. Consultado em 28 de fevereiro de 2018. 
  6. František, Slanina (2013). Essentials of econophysics modelling 1 ed. Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780191009075. OCLC 862122496. Consultado em 28 de fevereiro de 2018. 
  7. Paul, Wolfgang (2013). Stochastic processes: from physics to finance 2 ed. Berlin: Springer. ISBN 9783319003276. OCLC 853106886. Consultado em 28 de fevereiro de 2018.