Métrica de Lévy–Prokhorov

Em matemática, a métrica de Lévy–Prokhorov, algumas vezes chamada apenas de métrica de Prokhorov, é uma métrica, isto é, uma definição de distância, sobre a coleção de medidas de probabilidade em um dado espaço métrico. Recebe este nome em homenagem ao matemático francês Paul Lévy e ao matemático soviético Yuri Prokhorov. Prokhorov apresentou a métrica em 1956 como uma generalização da métrica de Lévy anterior.

Definição

Considere $(M,d)$ um espaço métrico com sua sigma-álgebra de Borel ${\mathcal {B}}(M)$. Suponha que ${\mathcal {P}}(M)$ denota a coleção de todas as medidas de probabilidade sobre o espaço mensurável $(M,{\mathcal {B}}(M))$.

Para um subconjunto $A\subseteq M$, defina a vizinhança $\varepsilon$ de $A$ por:

$A^{\varepsilon }:=\{p\in M|\exists q\in A,d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p),$

em que $B_{\varepsilon }(p)$ é a bola aberta de raio $\varepsilon$ centrada em $p$. A métrica de Lévy–Prokhorov $\pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )$ é definida ao configurar a distância entre duas medidas de probabilidade $\mu$ e $\nu$ como:

$\pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0|\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{e}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{para todo }}A\in {\mathcal {B}}(M)\right\},$

para medidas de probabilidade claramente $\pi (\mu ,\nu )\leq 1$.

Alguns autores omitem uma das duas desigualdades ou escolher apenas $A$ aberto ou fechado. Uma desigualdade implica a outra e $({\bar {A}})^{\varepsilon }=A^{\varepsilon }$, mas restringir a conjuntos abertos pode mudar a métrica então definida (se $M$ não for um espaço polonês).

Propriedades

• Se $(M,d)$ for separável, a convergência de medidas na métrica de Lévy–Prokhorov é equivalente à convergência fraca de medidas. Assim, $\pi$ é uma metrização da topologia de convergência fraca em ${\mathcal {P}}(M)$.
• O espaço métrico $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ é separável se e somente se $(M,d)$ for separável.
• Se $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ for completo, então, $(M,d)$ é completo. Se todas as medidas em ${\mathcal {P}}(M)$ tiverem suporte separável, então, a implicação recíproca se aplica: se $(M,d)$ for completo, então, $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ é completo.
• Se $(M,d)$ for separável e completo, um subconjunto ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ é relativamente compacto se e somente se seu $\pi$-fechamento for $\pi$-compacto.