Métrica de Lévy–Prokhorov

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Em matemática, a métrica de Lévy–Prokhorov, algumas vezes chamada apenas de métrica de Prokhorov, é uma métrica, isto é, uma definição de distância, sobre a coleção de medidas de probabilidade em um dado espaço métrico. Recebe este nome em homenagem ao matemático francês Paul Lévy e ao matemático soviético Yuri Prokhorov. Prokhorov apresentou a métrica em 1956 como uma generalização da métrica de Lévy anterior.[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

Considere um espaço métrico com sua sigma-álgebra de Borel . Suponha que denota a coleção de todas as medidas de probabilidade sobre o espaço mensurável .

Para um subconjunto , defina a vizinhança de por:

em que é a bola aberta de raio centrada em . A métrica de Lévy–Prokhorov é definida ao configurar a distância entre duas medidas de probabilidade e como:[2]

para medidas de probabilidade claramente .

Alguns autores omitem uma das duas desigualdades ou escolher apenas aberto ou fechado. Uma desigualdade implica a outra e , mas restringir a conjuntos abertos pode mudar a métrica então definida (se não for um espaço polonês).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se for separável, a convergência de medidas na métrica de Lévy–Prokhorov é equivalente à convergência fraca de medidas. Assim, é uma metrização da topologia de convergência fraca em .[3]
  • O espaço métrico é separável se e somente se for separável.
  • Se for completo, então, é completo. Se todas as medidas em tiverem suporte separável, então, a implicação recíproca se aplica: se for completo, então, é completo.
  • Se for separável e completo, um subconjunto é relativamente compacto se e somente se seu -fechamento for -compacto.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. «Lévy metric - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 3 de agosto de 2017 
  2. «Lévy-Prokhorov metric - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 3 de agosto de 2017 
  3. Billingsley, Patrick (25 de junho de 2013). Convergence of Probability Measures (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118625965