Processo regenerativo

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Processos regenerativos têm sido usados para modelar problemas em controle de inventário. O inventário em um armazém tal como o da imagem decresce via um processo estocástico devido às vendas até que seja reabastecido por um novo pedido.[1]

Em probabilidade aplicada, um processo regenerativo é uma classe de processos estocásticos com a propriedade de que certas porções do processo podem ser tratadas como estatisticamente independentes umas das outras.[2] Esta propriedade pode ser usada na derivação de propriedades teóricas de tais processos.

Histórico[editar | editar código-fonte]

Processos regenerativos foram definidos pela primeira vez pelo matemático britânico radicado nos Estados Unidos Walter L. Smith na Proceedings of the Royal Society A em 1955.[3][4]

Definição[editar | editar código-fonte]

Um processo regenerativo é um processo estocástico com pontos de tempo nos quais, a partir de um ponto de vista probabilístico, o processo se reinicia.[5] Estes pontos de tempo podem ser eles próprios determinados pela evolução do processo. Isto equivale a dizer que o processo é um processo regenerativo se existirem pontos de tempo , tal que o processo pós- :

  • tem a mesma distribuição do processo pós- ;
  • é independente do processo pré- .

para .[6] Intuitivamente, isto significa que um processo regenerativo pode ser dividido em ciclos independentes e identicamente distribuídos.[7]

Quando , é chamado de processo regenerativo não atrasado. De outro modo, o processo é chamado de processo regenerativo atrasado.[6]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Processos de renovação são processos regenerativos, sendo a primeira renovação.[5]
  • Processos de renovação alternantes, em que um sistema alterna entre um estado "ativo" e um estado "inativo", são processos regenerativos.[5]
  • Uma cadeia de Markov recorrente é um processo regenerativo, sendo o tempo da primeira recorrência.[5] Isto inclui as cadeias de Harris.
  • O movimento browniano refletido, em que se mede o tempo que as partículas levam para partir e voltar, é um processo regenerativo.[7]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Pelo teorema da renovação com recompensa, com probabilidade 1,

em que é o comprimento do primeiro ciclo e é o valor sobre o primeiro ciclo.[8]
  • Uma função mensurável de um processo regenerativo é um processo regenerativo com o mesmo tempo de regeneração.[8]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Hurter, Arthur P.; Kaminsky, Frank C. (1 de junho de 1967). «An Application of Regenerative Stochastic Processes to a Problem in Inventory Control». Operations Research (em inglês). 15 (3): 467–472. doi:10.1287/opre.15.3.467. Consultado em 21 de fevereiro de 2018. 
  2. Ross, Sheldon M. (2010). «Renewal Theory and Its Applications». Introduction to Probability Models. [S.l.: s.n.] pp. 421–641. ISBN 9780123756862. doi:10.1016/B978-0-12-375686-2.00003-0 
  3. Schellhaas, Helmut (1 de fevereiro de 1979). «Semi-Regenerative Processes with Unbounded Rewards». Mathematics of Operations Research (em inglês). 4 (1): 70–78. doi:10.1287/moor.4.1.70. Consultado em 21 de fevereiro de 2018. 
  4. Smith, Walter L. (11 de outubro de 1955). «Regenerative stochastic processes». Proceedings of the Royal Society A (em inglês). 232 (1188): 6–31. ISSN 0080-4630. doi:10.1098/rspa.1955.0198. Consultado em 21 de fevereiro de 2018. 
  5. a b c d Ross, Sheldon M. (2007). Introduction to probability models 9 ed. Amsterdam: Academic Press. ISBN 0125980620. OCLC 123417622. Consultado em 23 de fevereiro de 2018. 
  6. a b Haas, Peter Jay (2002). Stochastic Petri nets: modelling, stability, simulation. New York: Springer. ISBN 0387954457. OCLC 56109535. Consultado em 23 de fevereiro de 2018. 
  7. a b Asmussen, Søren (2003). Applied probability and queues 2nd ed ed. New York: Springer. ISBN 9780387002118. OCLC 51060198. Consultado em 23 de fevereiro de 2018. 
  8. a b Sigman, K.; Wolff, R. (1 de junho de 1993). «A Review of Regenerative Processes». SIAM Review. 35 (2): 269–288. ISSN 0036-1445. doi:10.1137/1035046. Consultado em 23 de fevereiro de 2018.