Teorema da decomposição de Doob–Meyer

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa

O teorema da decomposição de Doob–Meyer é um teorema em cálculo estocástico que afirma as condições sob as quais um submartingale pode ser decomposto de forma única como a soma de um martingale e um processo crescente previsível. Recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob e ao matemático francês Paul-André Meyer.

História[editar | editar código-fonte]

Em 1953, Doob publicou o teorema da decomposição de Doob, que dá uma única decomposição para certos martingales de tempo discreto.[1] O matemático norte-americano conjeturou uma versão de tempo contínuo do teorema e, em duas publicações em 1962 e 1963, Meyer provou tal teorema, que se tornou conhecido como decomposição de Doob–Meyer.[2][3] Em homenagem a Doob, o matemático francês usou o termo "classe D" para se referir à classe de supermartingales para os quais seu teorema da decomposição única se aplicava.[4]

Supermartingales de classe D[editar | editar código-fonte]

Um submartingale càdlàg é de classe D se e a coleção:

for uniformemente integrável.[4]

Teorema[editar | editar código-fonte]

Considere um submartingale càdlàg de classe D. Então, existe um processo único, crescente e previsível com tal que é um martingale uniformemente integrável.[4]

Referências

  1. Doob, Joseph L. (1990). Stochastic processes (em inglês). [S.l.]: Wiley 
  2. Meyer, P. A. (Junho 1962). «A decomposition theorem for supermartingales». Illinois Journal of Mathematics (em inglês). 6 (2): 193–205. ISSN 0019-2082 
  3. Meyer, P. A. (Março 1963). «Decomposition of supermartingales: The uniqueness theorem». Illinois Journal of Mathematics (em inglês). 7 (1): 1–17. ISSN 0019-2082 
  4. a b c E., Protter, Philip (2004). Stochastic integration and differential equations 2nd ed. Berlin: Springer. ISBN 3540003134. OCLC 52943083