Variação quadrática

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Em matemática, a variação quadrática é usada na análise de processos estocásticos, como o movimento browniano e outros martingales. A variação quadrática é só mais um tipo de variação de um processo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Suponha que é um processo estocástico de valores reais definido em um espaço de probabilidade e com um índice de tempo que varia entre os números reais não-negativos. Sua variação quadrática é o processo, escrito como , definido como

em que varia entre as partições do intervalo e a norma da partição P é a malha. Este limite, se existe, é definido usando a convergência de variáveis aleatórias. Note que um processo pode ser de variação quadrática finita no sentido da definição dada aqui e seus caminhos podem ser, não obstante, quase certamente de variação quadrática infinita para todo no sentido clássico de tomar o supremo da soma de todas as partições; este é particularmente o caso do movimento browniano.

Mais geralmente, a covariância (ou variância cruzada) de dois processos e é

A covariância pode ser escrita em termos de variação quadrática pela identidade de polarização:

[1]

Processos de variação finita[editar | editar código-fonte]

Diz-se que um processo tem variação finita se tiver variação limitada para cada intervalo de tempo finito (com probabilidade 1). Tais processos são muito comuns e incluem, particularmente, todas as funções continuamente diferenciáveis. A variação quadrática existe para todos os processos de variação contínua e finita e é zero.

Esta afirmação pode ser generalizada a processos não-contínuos. Qualquer processo de variação finita càdlàg tem variação quadrática igual à soma dos quadrados dos saltos de . Para afirmar isto mais precisamente, o limite à esquerda de referente a é denotado por e o salto de no tempo pode ser escrito como . Então, a variação quadrática é dada por

A prova de que processos de variação finita e contínua têm variação quadrática zero segue da seguinte desigualdade. Aqui, é uma partição do intervalo e é a variação de sobre .

Pela continuidade de , este desaparece no limite conforme vai a zero.

Processos de Itō[editar | editar código-fonte]

A variação quadrática de um movimento browniano padrão existe e é dada por . Isto se generaliza a processos de Itō que, por definição, podem ser expressos em termos de integrais de Itō

em que é um movimento browniano. Qualquer processo como tal tem variação quadrática dada por

Semimartingales[editar | editar código-fonte]

É possível mostrar que variações e covariâncias quadráticas de todos os semimartingales existem. Eles formam uma parte importante da teoria do cálculo estocástico, aparecendo no lema de Itō, que é a generalização da regra da cadeia da integral de Itō. A covariância quadrática também aparece na fórmula de integração por partes.

que pode ser usada para computar .

De outra forma, isto pode ser escrito como uma equação diferencial estocástica:

em que

Martingales[editar | editar código-fonte]

Todos os martingales càdlàg e martingales locais têm variação quadrática bem definida, que segue do fato de que tais processos são exemplos de semimartingales. Pode ser mostrado que a variação quadrática de um martingale localmente quadrado integrável é o único processo contínuo à direita e crescente a partir de zero, com saltos , tal que é um martingale local. Uma prova da existência de (sem uso de cálculo estocástico) é dada em Karandikar-Rao.[2]

Um resultado útil para martingales quadrado integráveis é a isometria de Itō, que pode ser usada para calcular a variância de integrais de Itō,

Este resultado se mantém sempre que for um martingale quadrado integrável càdlàg e for um processo previsível limitado, sendo frequentemente usado na construção da integral de Itō.

Outro importante resultado é a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy, que dá limites ao máximo de um martingale nos termos da variação quadrática. Para um martingale local começando em zero, com máximo denotado por e qualquer número real , a desigualdade é

Aqui, são constantes que dependem da escolha de , mas não do martingale ou do tempo usado. Se for um martingale local contínuo, então a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy se mantém para qualquer .

Um processo alternativo, a variação quadrática previsível, é usado às vezes para martingales localmente quadrado integráveis. É escrita como e definida como sendo o único processo previsível contínuo à direita e crescente a partir de zero, tal que é um martingale local. Sua existência segue do teorema da decomposição de Doob-Meyer e, para martingales locais contínuos, é igual à variação quadrática.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations, ISBN 3-540-00313-4 2nd ed. , Springer 
  2. Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). «On quadratic variation of martingales» (PDF). Indian Academy of Sciences. Proceedings of Indian Academy Of Sciences. 124 (3): 457-469