Equação de Tanaka

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Em matemática, a equação de Tanaka é um exemplo de equação diferencial estocástica que admite uma solução fraca, mas que não tem nenhuma solução forte. Recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka.[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

A equação de Tanaka é uma equação diferencial estocástica unidimensional:

dirigida pelo movimento browniano canônico com condição inicial , em que denota a função sinal:

Destaca-se o valor não convencional de . A função sinal não satisfaz a condição de continuidade de Lipschitz exigida para teoremas usuais que garantem a existência e a unicidade de soluções fortes. A equação de Tanaka não tem nenhuma solução forte, isto é, uma para a qual a versão do movimento browniano é dada antecipadamente e a solução é adaptada à filtração gerada por e pelas condições iniciais. Entretanto, a equação de Tanaka tem uma solução fraca, uma para a qual o processo e a versão do movimento browniano são ambos especificados como parte da solução, em vez do movimento browniano sendo dado a priori. Neste caso, simplesmente escolhe-se para ser qualquer movimento browniano e define-se por:

isto é,

Assim,

e, então, é uma solução fraca da equação de Tanaka. Além disto, esta solução é fracamente única, isto é, qualquer outra solução fraca deve ter a mesma lei.[1]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b 1945-, Øksendal, B. K. (Bernt Karsten), (2003). Stochastic differential equations : an introduction with applications 6th ed. Berlin: Springer. ISBN 3540047581. OCLC 52203046