Processo de Feller

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Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Processo contínuo de Feller.

Na teoria das probabilidades relativa aos processos estocásticos, um processo de Feller é um tipo particular de processo de Markov.

Definições[editar | editar código-fonte]

Considere um espaço de Hausdorff localmente compacto com uma base contável. Considere que denota o espaço de todas as funções contínuas de valores reais em que desaparecem no infinito, equipadas com a norma uniforme . A partir da análise, sabemos que com a norma uniforme é um espaço de Banach.

Um semigrupo de Feller em é uma coleção de mapas lineares positivos de a ela mesma, tal que:

  • para todo e em , isto é, é uma contração (no sentido fraco);
  • A propriedade do semigrupo: para todo ;
  • para toda em . Usando a propriedade do semigrupo, isto é equivalente ao mapa de em a sendo contínuo à direita para toda .

Esta terminologia não é uniforme ao longo da literatura. Em particular, o pressuposto de que mapeia em si mesmo é substituído por alguns autores pela condição de que mapeia , o espaço das funções contínuas limitadas, em si mesmo. A razão para isto é dupla: em primeiro lugar, permite incluir processos que entram "a partir do infinito" no tempo finito, e, em segundo lugar, é mais adequado para o tratamento de espaços que não são localmente compactos e, para isto, a noção de "desaparecer no infinito" não faz sentido.

Uma função de transição de Feller é uma função de transição de possibilidade associada com um semigrupo de Feller.

Um processo de Feller é um processo de Markov com uma função de transição de Feller.[1]

Gerador[editar | editar código-fonte]

Processos de Feller (ou semigrupos de transição) podem ser descritos por seu gerador infinitesimal. Uma função em é dita no domínio do gerador se o limite uniforme:

existe. O operador é o gerador de e o espaço das funções em que é definido é escrito .

Uma caracterização dos operadores que podem ocorrer como o gerador infinitesimal do processo de Feller é dada pelo teorema de Hille–Yosida. Isto usa o resolvente do semigrupo de Feller definido abaixo.[2]

Resolvente[editar | editar código-fonte]

O resolvente de um processo (ou semigrupo) de Feller é uma coleção de mapas de a ele mesmo definida por:

Pode-se mostrar que satisfaz a identidade:

Além disso, para qualquer , a imagem de é igual ao domínio do gerador e:

[3]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Jacob, Niels (2001). Pseudo Differential Operators & Markov Processes: Markov processes and applications (em inglês). [S.l.]: Imperial College Press. ISBN 9781860945687 
  2. Kolokoltsov, Vassili N. (2011). Markov Processes, Semigroups, and Generators (em inglês). [S.l.]: Walter de Gruyter. ISBN 9783110250107 
  3. Marcus, Michael B.; Rosen, Jay (24 de julho de 2006). Markov Processes, Gaussian Processes, and Local Times (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521863001 
  4. Liggett, Thomas Milton (2010). Continuous Time Markov Processes: An Introduction (em inglês). [S.l.]: American Mathematical Soc. ISBN 9780821849491