Teorema de Girsanov

Visualização do teorema de Girsanov. O lado esquerdo mostra um processo de Wiener negativo; do lado direito, cada etapa do processo está colorido de acordo com a probabilidade na medida Q. A densidade de transformação de P a Q é dada pelo teorema de Girsanov.

Na teoria da probabilidade, o teorema de Girsanov (em nome de Igor Vladimirovich Girsanov) descreve como a dinâmica de processos estocásticos muda quando o a medida original é alterada para uma medida da probabilidade equivalente. O teorema é especialmente importante na teoria da matemática financeira, na medida em que converte a probabilidade de uma medida física que descreve a probabilidade de que um ativo subjacente (como um preço ou uma taxa de juros) ter um determinado valor ou valores em uma medida de risco-neutro, uma uma ferramenta muito útil para o cálculo de preços derivados do subjacente.

História

Resultados deste tipo foram pela primeira vez demonstrados por Cameron–Martin na década de 1940 e por Girsanov, em 1960. Eles foram, posteriormente, estendido para classes mais gerais de processo que culminaram na forma geral de Lenglart (1977).

Significado

O teorema de Girsanov é importante na teoria geral de processos estocásticos, pois permite que o resultado-chave de que se Q é uma medida absolutamente contínua com respeito a P , então, todo P-semimartingale é um Q-semimartingale.

Demonstração do teorema

Apresentamos o teorema primeiro para o caso especial quando o processo estocástico subjacente é um processo de Wiener. Este caso especial é suficiente para preços de risco-neutro no modelo de Black-Scholes e em muitos outros modelos (por exemplo, modelos contínuos).

Deixe $\{W_{t}\}$ ser um processo de Wiener espaço de probabilidade Wiener $\{\Omega ,{\mathcal {F}},P\}$. Deixe $X_{t}$ ser um processo adaptado mensurável para a filtragem natural do processo de Wiener$\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}$ com $X_{0}=0$.

Defina o exponencial Doléans ${\mathcal {E}}(X)_{t}$ de X com respeito a W

${\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right),$

Se ${\mathcal {E}}(X)_{t}$ é um martingale estritamente positivo, uma medida de probabilidade Q pode ser definida em $\{\Omega ,{\mathcal {F}}\}$ de tal forma a termos um derivativo de de Radon–Nikodym

${\frac {dQ}{dP}}|_{{\mathcal {F}}_{t}}={\mathcal {E}}(X)_{t}$

Em seguida, para cada t a medida Q restrita para os campos sigma não aumentados ${\mathcal {F}}_{t}^{W}$ é equivalente a P restrito a ${\mathcal {F}}_{t}^{W}$. Além disso, se Y é um local de martingale em P, então o processo

${\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}$

é um Q local de martingale no espaço de probabilidade filtrado $\{\Omega ,F,Q,\{F_{t}^{W}\}\}$.

Ver também

• Teorema de Cameron–Martin

Ligações externas

• Notas sobre Estocásticos Cálculo que contém um esquema simples prova do teorema de Girsanov.
• Aplicada Multidimensional Teorema de Girsanov que contém financeiras aplicações do teorema de Girsanov.