Exponencial de Doléans-Dade

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Em cálculo estocástico, a exponencial de Doléans–Dade, exponencial de Doléans ou exponencial estocástica de um semimartingale é definida como a solução da equação diferencial estocástica com condição inicial . O conceito recebe este nome em homenagem à matemática franco-americana Catherine Doléans–Dade. É às vezes denotada como .[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

No caso em que é diferenciável, então, é dado pela equação diferencial , para a qual a solução é . Alternativamente, se para um movimento browniano , então, a exponencial de Doléans–Dade é um movimento browniano geométrico. Para qualquer semimartingale contínuo , aplicando o lema de Itō com , tem-se que:

A exponenciação dá a solução:

Isto difere do que pode ser esperado por comparação com o caso em que é diferenciável devido à existência do termo de variação quadrática na solução.

A exponencial de Doléans–Dade é útil no caso em que é um martingale local. Então, também será um martingale local, enquanto a exponencial normal não é. Isto é usado no teorema de Girsanov. Os critérios para que um martingale local contínuo garanta que sua exponencial estocástica seja de fato um martingale são dados pelas condições de Kazamaki, Novikov e Beneš.

É possível aplicar o lema de Itō para semimartingales não contínuos de forma semelhante para mostrar que a exponencial de Doléans–Dade de qualquer semimartingale é:

em que o produto se estende sobre os (muitos) saltos (contáveis) de até o tempo .[2]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Larsson, Martin; Ruf, Johannes (20 de fevereiro de 2017). «Notes on the Stochastic Exponential and Logarithm∗» (PDF). Consultado em 2 de outubro de 2017 
  2. E., Protter, Philip (2004). Stochastic integration and differential equations 2nd ed. Berlin: Springer. ISBN 3540003134. OCLC 52943083 
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