Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko

 Nota: Se procura o teorema do valor extremo em cálculo, veja Teorema de Weierstrass.

O biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher.

Em estatística, o teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko, também chamado de teorema de Fisher–Tippett ou teorema do valor extremo, é um resultado geral na teoria dos valores extremos referente à distribuição assintótica de estatísticas de ordem extremas. O máximo de uma amostra de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas pode apenas convergir em distribuição a uma de três possíveis distribuições, a distribuição de Gumbel, a distribuição de Fréchet e a distribuição de Weibull. O matemático soviético Boris Gnedenko recebeu crédito pelo teorema do valor extremo (ou teorema da convergência a tipos) proposto em 1948. Versões anteriores foram publicadas pelos estatísticos britânicos Ronald Fisher e Leonard Henry Caleb Tippett em 1928 e pelo matemático francês Maurice Fréchet em 1927.

O papel do teorema dos tipos extremos para máximos é similar ao do teorema central do limite para médias, exceto pelo fato de que o teorema central do limite se aplica à média de uma amostra a partir de qualquer distribuição com variância finita, enquanto o teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko afirma apenas que, se a distribuição de um máximo normalizado converge, então o limite deve pertencer a uma classe particular de distribuições. Não afirma que a distribuição do máximo normalizado de fato converge.

Afirmação

Considere $X_{1},X_{2},...,X_{n}...$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e $M_{n}=\max\{X_{1},...,X_{n}\}$. Se uma sequência de pares de números reais $(a_{n},b_{n})$ existe tal que cada $a_{n}>0$ e $\lim _{n\to \infty }P\left({\frac {M_{n}-b_{n}}{a_{n}}}\leq x\right)=F(x)$, em que $F$ é uma função de distribuição não degenerada, então, a distribuição limite $F$ pertence às famílias de Gumbel, Fréchet ou Weibull. Estas podem ser agrupadas na distribuição generalizada de valor extremo.

Condições de convergência

Se $G$ for uma função de distribuição de $X$, então, $M_{n}$ pode ser reescalonado para convergir em distribuição a:

• Uma distribuição de Fréchet se e somente se $G(x)<1$ para todo $x$ real e ${\frac {1-G(tx)}{1-G(t)}}{\xrightarrow[{t\to +\infty }]{}}x^{-\theta },x>0$. Neste caso, possíveis sequências são:

  $b_{n}=0$ e $a_{n}=G^{-1}\left(1-{\frac {1}{n}}\right).$

• Uma distribuição de Weibull se e somente se $\omega =\sup\{G<1\}<+\infty$ e ${\frac {1-G(\omega +tx)}{1-G(\omega -t)}}{\xrightarrow[{t\to 0^{+}}]{}}(-x)^{\theta },x<0$. Neste caso, possíveis sequências são:

  $b_{n}=\omega$ e $a_{n}=\omega -G^{-1}\left(1-{\frac {1}{n}}\right).$

Ver também

• Distribuição de Gumbel
• Distribuição de Weibull