Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko

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Disambig grey.svg Nota: Se procura pelo(a) o teorema do valor extremo em cálculo, veja Teorema de Weierstrass.
O biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher.

Em estatística, o teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko, também chamado de teorema de Fisher–Tippett ou teorema do valor extremo, é um resultado geral na teoria dos valores extremos referente à distribuição assintótica de estatísticas de ordem extremas. O máximo de uma amostra de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas pode apenas convergir em distribuição a uma de três possíveis distribuições, a distribuição de Gumbel, a distribuição de Fréchet e a distribuição de Weibull. O matemático soviético Boris Gnedenko recebeu crédito pelo teorema do valor extremo (ou teorema da convergência a tipos) proposto em 1948.[1] Versões anteriores foram publicadas pelos estatísticos britânicos Ronald Fisher e Leonard Henry Caleb Tippett em 1928 e pelo matemático francês Maurice Fréchet em 1927.[2][3]

O papel do teorema dos tipos extremos para máximos é similar ao do teorema central do limite para médias, exceto pelo fato de que o teorema central do limite se aplica à média de uma amostra a partir de qualquer distribuição com variância finita, enquanto o teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko afirma apenas que, se a distribuição de um máximo normalizado converge, então o limite deve pertencer a uma classe particular de distribuições. Não afirma que a distribuição do máximo normalizado de fato converge.

Afirmação[editar | editar código-fonte]

Considere uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e . Se uma sequência de pares de números reais existe tal que cada e , em que é uma função de distribuição não degenerada, então, a distribuição limite pertence às famílias de Gumbel, Fréchet ou Weibull. Estas podem ser agrupadas na distribuição generalizada de valor extremo.[4]

Condições de convergência[editar | editar código-fonte]

Se for uma função de distribuição de , então, pode ser reescalonado para convergir em distribuição a:[4]

  • Uma distribuição de Fréchet se e somente se para todo real e . Neste caso, possíveis sequências são:[4]

    e

  • Uma distribuição de Weibull se e somente se e . Neste caso, possíveis sequências são:[4]

    e

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Gnedenko, Boris (1948). «On a local limit theorem of the theory of probability» (PDF). Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 3 (25). Consultado em 3 de agosto de 2017 
  2. Fisher, R. A.; Tippett, L. H. C. (abril de 1928). «Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 24 (2): 180–190. ISSN 1469-8064. doi:10.1017/s0305004100015681 
  3. Fréchet, Maurice. «Sur les ensembles compacts de fonctions mesurables». Fundamenta Mathematicae (em inglês). 9 (1). ISSN 0016-2736 
  4. a b c d Alves, Isabel Fraga; Neves, Cláudia (2011). «Extreme Value Distributions». Springer Berlin Heidelberg. International Encyclopedia of Statistical Science (em inglês): 493–496. doi:10.1007/978-3-642-04898-2_246