Processo de Bessel

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Em matemática, um processo de Bessel, que recebe este nome em homenagem a Friedrich Wilhelm Bessel, é um tipo de processo estocástico.[1]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Três representações de processos de Bessel

O processo de Bessel de um ordem é o processo de valores reais dado por

em que denota a norma euclidiana em e é um processo de Wiener (movimento browniano) de dimensões a partir da origem.

Este processo de Bessel de dimensões é a solução para a equação diferencial estocástica[2]

Em que é um processo de Wiener (movimento browniano) de dimensão . Note que esta equação diferencial estocástica faz sentido para qualquer parâmetro real (ainda que o termo de deriva seja singular em ). Assumindo-se que começou a partir da origem, a condição inicial é .

Notação[editar | editar código-fonte]

Uma notação para o processo de Bessel de dimensão iniciado em é .

Dimensões específicas[editar | editar código-fonte]

Para , o processo de Wiener de dimensões é transitório a partir de seu ponto de origem: com probabilidade , para todo . É, entretanto, recorrente na vizinhança para , o que significa que, com probabilidade , para qualquer , há arbitrariamente grandes com . Por outro lado, é verdadeiramente transitório para , o que significa que para todo suficientemente grande.

Para , o processo de Bessel é geralmente iniciado em pontos diferentes de , já que a deriva a é tão forte que o processo fica preso a assim que atinge .

Relação com movimento browniano[editar | editar código-fonte]

Processos de Bessel de dimensões e são relacionados a tempos locais do movimento browniano via teoremas de Ray-Knight.[3]

A lei de um movimento browniano perto dos extremos de é a lei de um processo de Bessel tridimensional (Fórmula de Tanaka).

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Rogers, L. C. G.; Williams, David (13 de abril de 2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521775946 
  2. Øksendal, Bernt (1 de janeiro de 2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540047582 
  3. Revuz, Daniel; Yor, Marc (9 de março de 2013). Continuous Martingales and Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662064009