Fórmula de Cameron–Martin

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Em matemática, a fórmula de Cameron–Martin ou teorema de Cameron–Martin é um teorema de teoria da medida que descreve como medidas abstratas de Wiener mudam sob translação por certos elementos do espaço de Cameron–Martin ou espaço de Hilbert com núcleo reprodutor. Recebe este nome em homenagem aos matemáticos norte-americanos Robert Horton Cameron e William Theodore Martin.[1]

Motivação[editar | editar código-fonte]

A medida de Gauss padrão em um espaço euclidiano Rn de dimensões não é invariante por translação. Na verdade, há uma única medida de Radon invariante por translação à escala segundo o teorema de Haar: a medida de Lebesgue de dimensões, denotada aqui como . Em vez disso, um subconjunto mensurável tem a medida de Gauss

Aqui, se refere ao produto escalar euclidiano em Rn. A medida de Gauss da translação de por um vetor  Rn é

Então, sob translação por , a medida de Gauss escala pela função de distribuição que aparece na última exposição:

A medida que associa ao conjunto o número é a medida imagem, denotada como . Aqui, Rn  Rn se refere ao mapa da translação: . O cálculo acima mostra que a derivada de Radon-Nikodym da medida imagem referente à medida de Gauss original é dada por

A medida de Wiener abstrata em um espaço de Banach separável , em que é um espaço de Wiener abstrato, é também uma "medida de Gauss" no sentido adequado.[2] Quanto à mudança sob translação, uma fórmula semelhante àquela acima se aplica se considerarmos apenas translações por elementos no subespaço denso .

Afirmação[editar | editar código-fonte]

Considere um espaço de Wiener abstrato com medida de Wiener abstrata . Para , define-se por . Então, é equivalente a com derivada de Radon–Nikodym

em que

denota a integral de Paley–Wiener.

A fórmula de Cameron–Martin é válida apenas para translações por elementos do subespaço denso , chamado de espaço de Cameron–Martin, e não por elementos arbitrários de . Se a fórmula de Cameron–Martin se aplicasse a translações arbitrárias, contradiria o seguinte resultado:

Se for um espaço de Banach separável e uma medida de Borel em equivalente a sua própria imagem sob qualquer translação, então, ou tem dimensão finita ou é a medida trivial.

De fato, é uma medida quase-invariante sob translação por um elemento se e somente se .[3] Vetores em são às vezes chamados de direções de Cameron-Martin.

Integração por partes[editar | editar código-fonte]

A fórmula de Cameron–Martin dá origem a uma fórmula de integração por partes em .[4] Se  R tiver uma derivada de Fréchet limitada R, a integração da fórmula de Cameron–Martin em relação à medida de Wiener em ambos os lados dá

para qualquer R. A diferenciação formal em relação a e a avaliação em dá a fórmula de integração por partes

A comparação com o teorema da divergência do cálculo vetorial sugere

em que é o "campo vetorial" para todo . A intenção de considerar campos vetoriais mais gerais e pensar integrais estocásticas como "divergências" leva ao estudo dos processos estocásticos e do cálculo de Malliavin e, em particular, o teorema de Clark–Ocone e sua fórmula associada de integração por partes.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

Pelo teorema de Cameron–Martin, é possível estabelecer que, para uma matriz definitiva, não negativa, simétrica e q x q , cujos elementos são contínuos e satisfazem à condição

e para um processo de Wiener -dimensional que

em que é uma matriz definitiva, não positiva e q x q, uma solução única da equação de Riccati avaliada em matriz

[5]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Cameron, R. H.; Martin, W. T. (1944). «Transformations of Weiner Integrals Under Translations». Annals of Mathematics. 45 (2): 386–396. doi:10.2307/1969276 
  2. Oh, Tadahiro; Quastel, Jeremy (maio de 2016). «On the Cameron–Martin theorem and almost-sure global existence». Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 59 (2): 483–501. ISSN 0013-0915. doi:10.1017/S0013091515000218 
  3. Bell, Denis (1985). «A quasi-invariance theorem for measures on Banach spaces». Transactions of the American Mathematical Society. 290 (2): 851–855. ISSN 0002-9947. doi:10.1090/S0002-9947-1985-0792833-3 
  4. Maniglia, Stefania; Rhandi, Abdelaziz (2004). Gaussian Measures on Separable Hilbert Spaces and Applications. Lecce: Edizioni del Grifo. Consultado em 22 de junho de 2017 
  5. Liptser, Robert; Shiryaev, Albert N. (17 de abril de 2013). Statistics of Random Processes: I. General Theory (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662130438