Métodos de integração

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No cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos utilizados para encontrar antiderivadas de funções.[1] [2] Algumas das técnicas mais conhecidas são as de integração por substituição, partes, e frações parciais.

Integração por substituição[editar | editar código-fonte]

Considere a seguinte integral:

A técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis . Desta forma, o que, substituindo na integral acima, fornece:

Esta técnica, é consequência da regra da cadeia para derivadas.[1]

Exemplo:[editar | editar código-fonte]

Considere:

Tomando , temos . Segue que:

.

Integração por partes[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Integração por partes

A técnica de integração por partes é uma consequência da regra do produto para derivadas. Ela estabelece que:[1] [2]

.

Para integrais definidas, a fórmula análoga é:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a integral definida:

.

Tomando:

Seque, da integração por partes que:

.

Substituições trigonométricas[editar | editar código-fonte]

As substituições trigonométricas são muitas vezes úteis para calcular integrais contendo expressões da forma , , ou . Nestes casos, as substituições sugeridas são:[1] [2]

Expressão Substituição Elemento infenitesimal Expressão resultante

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a integral . Usando a substituição , obtem-se . Segue que:

.

A integral de cosseno ao quadrado pode ser calculada utilizando integração por partes, tomando:

, ,

temos:

Daí, segue que:

Da substituição feita concluímos que:

onde, é uma constante indeterminada.

Integração por frações parciais[editar | editar código-fonte]

A técnica de frações parciais é utilizada para o cálculo de integrais de funções racionais.[1] [2] [3] Considere:

onde, e são polinômios. Notamos que, por divisão de polinômios, encontrar polinômios e tais que:

sendo um polinômio de grau menor que . O método segue da fatoração de em polinômios irredutíveis, i.e. escrevemos:

.

Com isso, podemos encontrar constantes , e tais que:

.

Em resumo, temos:

que consiste na integração do polinômio e de uma série de funções racionais das formas ou . As integrais destas, por sua vez, podem ser calculadas pelos métodos de integração discutidos acima.

Exemplo:[editar | editar código-fonte]

Considere:

Temos , logo:

donde encontramos que , i.e. e . Daí:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e Anton, Howard (2014). Cálculo - Volume 1 10 ed. Bookman [S.l.] ISBN 9788582602256. 
  2. a b c d Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 1 7 ed. Cengage [S.l.] ISBN 9788522112586. 
  3. Leithold, Louis (1994). O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 1 3 ed. HARBRA [S.l.] ISBN 8529400941.