Lema de Fatou

Em matemática o lema de Fatou é um importante resultado da teoria da medida. Normalmente é demonstrado partindo do teorema da convergência monótona e é aplicado para demonstrar o teorema da convergência dominada.

Enunciado

Seja $f_{n}:E\to \mathbb {R} \,$ uma seqüência de funções mensuráveis não negativas, então:

\int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}\,

Defina $g_{n}=\inf _{i\geq n}f_{i}(x)\,$ e $f(x)=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\liminf _{i}f_{i}(x)$ .

$g_{n}\,$ formam uma seqüência não-decrescente de funções não-negativas e, portanto, pelo teorema da convergência monótona, temos:

\lim _{n\to \infty }\int _{E}g_{n}(x)dx=\int _{E}f(x)dx\,

Da definição de $g_{n}\,$ , temos ainda:

\int _{E}g_{n}(x)dx\leq \int _{E}f_{i}(x)dx,~~\forall ~n\leq i\,

Tomando o ínfimo em $i\,$ , vale:

\int _{E}g_{n}(x)dx\leq \inf _{i\geq n}\int _{E}f_{i}(x)dx,~~\forall ~n\,

Passando ao limite em $n\,$ , segue:

\lim _{n\to \infty }\int _{E}g_{n}(x)dx\leq \liminf _{i\to \infty }\int _{E}f_{i}(x)dx\,

Como $\lim _{n\to \infty }\int _{E}g_{n}(x)dx=\int _{E}f(x)dx=\int _{E}\liminf _{i\to \infty }f_{i}(x)dx\,$ , temos o resultado:

\int _{E}\liminf _{i\to \infty }f_{i}(x)dx\leq \liminf _{i\to \infty }\int _{E}f_{i}(x)dx\,.

Seja $f_{n}:E\to \mathbb {R} \,$ uma seqüência de funções mensuráveis não negativas convergindo quase-sempre para uma função $f\,$ , tal que:

\int _{E}f_{n}\leq K\,

então:

\int _{E}f\leq K\,.