Pente de Dirac

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Gráfico de comb(x/τ). A função é par e tem período τ.

Em matemática, o Pente de Dirac é uma distribuição (ou função generalizada) obtida a partir do Delta de Dirac. Em engenharia elétrica, também recebe os nomes de função sha ( ou shah), trem de impulsos e função de amostragem. É definida da maneira seguinte, como um conjunto infinito de impulsos unitários, espaçados de uma unidade:

onde é o Delta de Dirac e é um número inteiro.

Alguns autores usam para denotá-la o símbolo Ш (letra cirílica sha), por brevidade. Esse símbolo alude, evidentemente, à forma do seu gráfico em coordenadas cartesianas (ver figura ao lado).

A distribuição é periódica com período = 1. Pode-se definir a distribuição de uma forma mais genérica, com período τ, da maneira seguinte:

[1].

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Propriedades elementares[editar | editar código-fonte]

Algumas propriedades são evidentes, a partir da definição[1]:

Amostragem[editar | editar código-fonte]

O Pente de Dirac exibe a propriedade de, para qualquer função ,

A propriedade dada por (3f) é o que torna o Pente de Dirac importante na Teoria da Amostragem. A multiplicação de comb(x) a uma função qualquer f(x) resulta numa sequência f(k) que espelha os valores originais em pontos específicos e anula o resto. Daí decorre que

Outra propriedade útil está relacionada à convolução:

A convolução com o Pente de Dirac gera uma sequência em que os valores de f(x) em determinados instantes são replicados periodicamente. Se f(x) ≠ 0 para |x| > 1, haverá superposição entre os valores mas, no caso de f(x) ≠ 0 apenas para |x| < 1, a sequência resultante será periódica com período igual a uma unidade[nota 1][1].

Série de Fourier[editar | editar código-fonte]

É evidente a partir da definição da própria função que o Pente de Dirac é periódico com período . De modo que:

.

A Série de Fourier da função na forma exponencial é do tipo:

cujos coeficientes de Fourier, são:

Logo, todos os coeficientes são iguais a e sua representação em Série de Fourier é:

Transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

O Pente de Dirac exibe a propriedade de invariância em relação ao operador Transformada de Fourier:

[2][3][nota 2][nota 3]

(a definição do Delta de Dirac no domínio da frequência é ).

Extensão para espaços com mais dimensões[editar | editar código-fonte]

As expressões (1) e (2) definem o Pente de Dirac em um espaço euclideano bidimensional, isto é, com uma variável independente x. Essas definições podem ser generalizadas facilmente de modo a contemplar espaços com mais dimensões. A expressão

define o Pente de Dirac com duas variáveis independentes x e y, uma distribuição conhecida como cama de pregos (ing. "bed of nails"). 2δ(x,y)[nota 4] é a generalização do Delta de Dirac para duas variáveis independentes x e y: 2δ(x,y) = δ(x)·δ(y). Da mesma forma,

define o Pente de Dirac para três variáveis independentes x, y e z. Expressões similares podem ser escritas para dimensões superiores[1].

Equivalentes multidimensionais da expressão (2) seguem a forma seguinte:

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A distribuição 2comb(x,y) exibe as seguintes propriedades notáveis:

[1]

e, inclusive com relação à transformação de Fourier:

[2]

As propriedades (7b), (7c), (7d) e (7e) são extensões multidimensionais das propriedades (3g), (3b), (3f) e (3i), respectivamente.

Propriedades semelhantes podem ser deduzidas para pentes de ordem maior.

Outras funções importantes em espaços multidimensionais[editar | editar código-fonte]

Em um espaço com duas variáveis independentes, a distribuição comb(x) denota uma grade composta por planos paralelos ao eixo Y, e comb(y), uma grade com planos paralelos ao eixo X. comb(x)·δ(y) denota uma linha de impulsos dispostos ao longo do eixo X, e comb(y)·δ(x) denota uma linha de impulsos dispostos ao longo do eixo Y. Ainda mais interessante é a seguinte propriedade:

[1]

Pente geométrico de Dirac[editar | editar código-fonte]

Em algumas aplicações, é conveniente definir o pente geométrico de Dirac

O nome deve-se ao fato de os valores da função formarem uma progressão geométrica com razão a; o pente de Dirac "comum" recebe às vezes o nome de pente aritmético de Dirac para evitar confusões[4].

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Essa operação é conhecida como extensão periódica da função original.
  2. Algumas outras poucas funções exibem essa propriedade. Um exemplo é f(x) = sech(x).
  3. Essa propriedade depende de qual foi a convenção usada para definir a transformada de Fourier, uma vez que não há consenso quanto a isso na literatura. Algumas definições podem provocar a inserção de fatores de escalamento.
  4. Não confundir com δ2(x), que denota a derivada de δ(x).


Referências

  1. a b c d e f Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 5, pp. 74-104, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1
  2. a b Bracewell, R. - op. cit., cap. 6, pp. 105 a 135
  3. Wang Ruye - Fourier transform of typical signals, disponível em http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/handout3/node3.html, acessado em 29/09/2012
  4. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - The Mellin Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 11, pp. 989 a 990