Ponto de inflexão

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Gráfico de y = x³ com ponto de inflexão em (0,0), também um "ponto de sela".

Em cálculo diferencial, um ponto de inflexão ou simplesmente inflexão, é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura (a derivada de segunda ordem) troca o sinal. A curva muda de ter curvatura côncava para cima (positiva) para concavidade para baixo (curvatura negativa), ou vice-versa. Pode-se comparar com a condução de um veículo ao longo de uma estrada sinuosa, no ponto de inflexão no qual o volante é momentaneamente "endireitado" quando virado da esquerda para a direita ou vice-versa.

Conceitos fundamentais[editar | editar código-fonte]

Para entender o que são pontos de inflexão, primeiro é preciso saber distinguir uma função côncava de uma função convexa e o que é raiz de uma função.

  • Função côncova: Uma função côncava é uma função para qual não existe nenhum segmento de reta que una dois pontos do seu gráfico e que fique acima dele. Forma a letra U invertida.
Concave fnx.jpg
  • Função convexa: É essencialmente o oposto de uma função côncava: para esse tipo de função, não existe nenhum segmento de reta que una dois pontos do seu gráfico e que fique abaixo dele. Formato da letra U.
Convex fnx.jpg
  • Raiz de uma função:  A raiz de uma função é o ponto onde ela é igual a zero. No gráfico de uma função, as raízes são os pontos do gráfico que cruzam o eixo das abscissas (eixo x). 

Como encontrar o ponto de inflexão [editar | editar código-fonte]

  • Calcule a primeira derivada da função. A primeira derivada de uma função é representada por f′(x).   
  • Calcule a segunda derivada da função. A segunda derivada da função é a primeira derivada da primeira derivada da função e é representada por f′′(x). 
  • Iguale a segunda derivada a zero. Iguale a expressão obtida como segunda derivada a zero e resolva a equação. O resultado da equação será um possível ponto de inflexão.  
  • Calcule a terceira derivada da função. Para ter certeza de que a solução encontrada é realmente um ponto de inflexão, encontre a terceira derivada da função, representada por f ′′′(x): para isso, derive uma vez a segunda derivada da função. 

Avaliando o ponto de inflexão [editar | editar código-fonte]

  • Avalie a terceira derivada da função. A regra básica para identificar um possível ponto de inflexão é "se a terceira derivada de uma função for diferente de zero, ou seja, f′′′(x) ≠ 0, então o possível ponto de inflexão é de fato um ponto de inflexão". Verifique a terceira derivada: se ela não for igual zero, então o candidato a ser ponto de inflexão (obtido ao resolver a equação que representa a segunda derivada) é realmente um ponto de inflexão. 
  • Determine o ponto de inflexão. As coordenadas do ponto de inflexão são representadas pelo par ordenado (x,f(x)), onde x representa o valor obtido ao resolver a equação da segunda derivada e f(x) representa o valor da função no ponto de inflexão. 
  • Escreva o par ordenado. As coordenadas do ponto de inflexão serão o valor de x e o valor calculado acima. 

Referências[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

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