Prova de que e é irracional

Parte de uma série de artigos sobre a
constante matemática e
Propriedades
Logaritmo natural Função exponencial
Aplicações
Juro composto Identidade de Euler Fórmula de Euler meias-vidas crescimento e decaimento exponencial
Definir e
prova de que e é irracional representações de e Teorema de Lindemann–Weierstrass
Pessoas
John Napier Leonhard Euler

Na matemática, o número de Euler é uma das mais importantes constantes reais. A demonstração de que este número é irracional é considerada um dos mais elegantes teoremas de matemática

A demonstração baseia-se na representação do número de Euler pela série de Taylor da função exponencial em $x=0\,$:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\quad (1)\!$

Demonstração

Esta é uma prova por contradição. Inicialmente, assume-se que e é um número racional, ou seja, que pode ser escrito na forma:

$e={\frac {a}{b}}\,$

Onde a e b são números inteiros. Defina o número x como:

$x=b!\,{\biggl (}e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}\!$

Aqui $x\,$ é obrigatoriamente um número inteiro pois pode ser escrito como:

$x=b!\,{\biggl (}{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.$

Agora, usamos a representação em séries dada por (1):

$x=b!\,{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=b!\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,$

Desta forma fica claro que $x>0\,$. Se pudermos provar que $x<1\,$, o resultado está terminado, pois a contradição terá sido obtida, uma vez que não existe número inteiro maior que zero e menor que um.

Prova-se agora que $x<1\,$, observando que para cada termo $n>b\,$, vale a estimativa:

${\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,,\!$

Introduz-se a mudança de variável $k=n-b\,$ e usa-se soma dos termos de uma progressão geométrica:

$x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}\leq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}<1.$

E o resultado segue, pois como $2<e<3\,$, $e\,$ não é um número inteiro e, portanto, $b>1\,$.

Logo, como $x$ deve ser um inteiro simultaneamente maior que 0 e menor que 1, o que é impossível, conclui-se que a afirmação inicial de que $e$ pode ser escrito como a razão dos números inteiros ${\frac {a}{b}}\,$ é falsa e $e$ é irracional.

Ver também

• Número transcendente
• Teorema de Lindemann–Weierstrass