Prova de que e é irracional

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Na matemática, o número de Euler é uma das mais importantes constantes reais. A demonstração de que este número é irracional é considerada um dos mais elegantes teoremas de matemática[1]

A demonstração baseia-se na representação do número de Euler pela série de Taylor da função exponencial em :

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Esta é uma prova por contradição. Inicialmente, assume-se que e é um número racional, ou seja, que pode ser escrito na forma:

Onde a e b são números inteiros. Defina o número x como:

Aqui é obrigatoriamente um número inteiro pois pode ser escrito como:

Agora, usamos a representação em séries dada por (1):

Desta forma fica claro que . Se pudermos provar que , o resultado está terminado, pois a contradição terá sido obtida, uma vez que não existe número inteiro maior que zero e menor que um.

Prova-se agora que , observando que para cada termo , vale a estimativa:

Introduz-se a mudança de variável e usa-se soma dos termos de uma progressão geométrica:

E o resultado segue, pois como , não é um número inteiro e, portanto, .

Logo, como deve ser um inteiro simultaneamente maior que 0 e menor que 1, o que é impossível, conclui-se que a afirmação inicial de que pode ser escrito como a razão dos números inteiros é falsa e é irracional.

Referências

  1. Aigner, Martin; Ziegler, Günter (2003). Proofs from THE BOOK. Berlin; New York: Springer. ISBN 3-540-40460-0 

Ver também[editar | editar código-fonte]