Número de Grashof

Na mecânica dos fluidos, em especial no estudo dos termofluidos, o número de Grashof $\mathrm {Gr}$ é uma grandeza adimensional que compara os efeitos do empuxo e da viscosidade em um fluido. Recebeu o nome de Franz Grashof. Surge com frequência no estudo da convecção natural, em que tem um papel análogo ao do número de Reynolds na convecção forçada.

Definição

Transferência de calor

Na convecção natural de origem térmica, diferenças de temperatura produzem diferenças de densidade no fluido. Em condições usuais, o aquecimento reduz a densidade, e o fluido aquecido tende a subir sob a ação do empuxo. A viscosidade se opõe ao movimento. O número de Grashof quantifica a relação entre esses efeitos.

Para uma placa plana vertical, a definição baseada na altura é

$$\mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}.$$

Para tubos e outros corpos, quando a correlação empregada adota o diâmetro como comprimento característico, usa-se

$$\mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}.$$

Nessas expressões:

• $g$ é o módulo da aceleração da gravidade
• $\beta$ é o coeficiente de expansão volumétrica
• $T_{s}$ é a temperatura da superfície
• $T_{\infty }$ é a temperatura do fluido longe da superfície, fora da camada limite térmica
• $L$ é a altura da placa vertical
• $D$ é o diâmetro do corpo
• $\nu$ é a viscosidade cinemática.

Os subscritos $L$ e $D$ mostram a escala de comprimento usada no cálculo. Para um gás ideal, $\beta =1/T$, com a temperatura absoluta $T$ expressa em kelvin. As propriedades do fluido são avaliadas na temperatura de referência adotada pela correlação.

A diferença $T_{s}-T_{\infty }$ mantém o sinal da diferença de temperatura. Nas correlações que usam o número de Grashof como uma grandeza positiva, toma-se seu módulo:

$$|\mathrm {Gr} _{L}|={\frac {g\left|\beta (T_{s}-T_{\infty })\right|L^{3}}{\nu ^{2}}}.$$

A escolha da correlação também deve considerar a orientação da superfície e se ela aquece ou resfria o fluido.

Como $\nu =\mu /\rho$, a definição pode ser escrita em função da viscosidade dinâmica:

$$\mathrm {Gr} ={\frac {g\beta \Delta TL_{c}^{3}\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}={\frac {g\beta \Delta TL_{c}^{3}}{\nu ^{2}}},$$

onde $\mu$ é a viscosidade dinâmica, $\rho$ é a densidade de referência, $L_{c}$ é o comprimento característico e $\Delta T=T_{s}-T_{\infty }$.

Para pequenas variações de densidade, a aproximação linear $\rho _{s}-\rho _{\infty }\simeq -\rho _{\infty }\beta (T_{s}-T_{\infty })$ permite escrever

$$|\mathrm {Gr} |\simeq {\frac {|\rho _{s}-\rho _{\infty }|}{\rho _{\infty }}}{\frac {gL_{c}^{3}}{\nu ^{2}}},$$

em que $\rho _{s}$ é a densidade do fluido junto à superfície e $\rho _{\infty }$ é a densidade longe dela. As propriedades devem ser avaliadas de maneira consistente com essa aproximação.

Na convecção natural junto a placas verticais, a transição da camada limite de laminar para turbulenta ocorre com o aumento da intensidade do escoamento. Valores de $\mathrm {Gr} _{L}$ da ordem de $10^{9}$ são usados como estimativa da transição, mas não constituem um limite universal. Critérios expressos pelo número de Rayleigh também são empregados. A distinção entre esses critérios exige considerar o número de Prandtl, sobretudo para fluidos nos quais ele é muito menor ou muito maior que um.

Transferência de massa

Há uma forma análoga do número de Grashof empregada em problemas de transferência de massa por convecção natural. Nesse caso, gradientes de concentração produzem diferenças de densidade e empuxo, em lugar das diferenças de densidade de origem térmica.

$$\mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{2}}},$$

com

$$\beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}}}\right)_{T,p}.$$

Nessas expressões:

• $g$ é o módulo da aceleração da gravidade
• $C_{a,s}$ é a concentração da espécie $a$ na superfície
• $C_{a,a}$ é a concentração da espécie $a$ no meio circundante
• $L$ é o comprimento característico
• $\nu$ é a viscosidade cinemática
• $\rho$ é a densidade do fluido
• $C_{a}$ é a concentração da espécie $a$
• $T$ e $p$ são a temperatura e a pressão, mantidas constantes na derivada parcial.

Relação com outros números adimensionais

O número de Rayleigh relaciona o empuxo à difusão de quantidade de movimento e à difusão de calor. Com o mesmo comprimento característico $x$, ele é o produto dos números de Grashof e de Prandtl:

$$\mathrm {Ra} _{x}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} ,\qquad \mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }},$$

onde $\alpha$ é a difusividade térmica. Em configurações como uma camada horizontal de fluido aquecida por baixo, o estado sem movimento pode perder a estabilidade acima de um valor crítico de Rayleigh, dando origem à convecção de Rayleigh-Bénard. Esse critério de início do movimento depende da configuração e das condições de contorno, e não deve ser confundido com a transição de um escoamento laminar para turbulento.

A razão entre o número de Grashof e o quadrado do número de Reynolds permite estimar o peso relativo da convecção natural em um escoamento com convecção forçada. Usando o mesmo comprimento $L$ e uma velocidade imposta de referência $U_{\infty }$, obtém-se uma forma global do número de Richardson:

$$\mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}={\frac {g\beta \Delta TL}{U_{\infty }^{2}}},\qquad \mathrm {Re} ={\frac {U_{\infty }L}{\nu }}.$$

Quando seu módulo é muito pequeno, a convecção natural pode, em geral, ser desprezada. Quando é muito grande, a convecção natural predomina. Para valores da ordem de um, deve-se considerar a convecção forçada e natural combinada:

$$|\mathrm {Ri} |\gg 1\quad \Rightarrow \quad {\text{predomínio da convecção natural}}$$

$$|\mathrm {Ri} |\sim 1\quad \Rightarrow \quad {\text{convecção mista}}$$

$$|\mathrm {Ri} |\ll 1\quad \Rightarrow \quad {\text{predomínio da convecção forçada}}.$$

Essas relações são estimativas de escala. Na convecção mista, também importa se o empuxo favorece ou se opõe ao escoamento imposto.

Dedução

O coeficiente de expansão volumétrica pode ser escrito em função do volume específico $v_{\mathrm {esp} }=1/\rho$:

$$\beta ={\frac {1}{v_{\mathrm {esp} }}}\left({\frac {\partial v_{\mathrm {esp} }}{\partial T}}\right)_{p}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}.$$

O subscrito em $v_{\mathrm {esp} }$ o distingue da componente de velocidade $v$ usada adiante. Para pequenas variações de temperatura em torno de $T_{0}$, a expansão de primeira ordem da densidade, a pressão constante, fornece

$$\rho \simeq \rho _{0}[1-\beta (T-T_{0})],$$

onde $\rho _{0}$ é a densidade na temperatura de referência e $\beta$ é avaliado nesse estado. Essa expressão é uma aproximação linear, adequada quando a variação relativa de densidade é pequena e a linearização permanece válida.

Na camada limite, $\rho$ e $T$ variam com a posição, enquanto $\rho _{0}$ e $T_{0}$ correspondem ao fluido externo. A diferença local de temperatura é $\Delta T=T-T_{0}$. O número de Grashof pode ser obtido pela adimensionalização da equação da quantidade de movimento ou pela análise dimensional das grandezas que determinam o empuxo.

Equação da quantidade de movimento

Considere um escoamento laminar estacionário com uma camada limite fina. Para escoamentos planos ou axissimétricos sem componente azimutal de velocidade, a equação da continuidade pode ser escrita como

$${\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{0}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{0}^{n})=0,$$

onde:

• $s$ é a coordenada ao longo da superfície
• $u$ é a componente de velocidade tangente à superfície
• $y$ é a coordenada normal à superfície
• $v$ é a componente de velocidade normal à superfície
• $r_{0}$ é o raio local do corpo no caso axissimétrico
• $n=1$ corresponde ao escoamento axissimétrico e $n=0$ ao escoamento plano bidimensional.

A conservação da quantidade de movimento fornece uma equação distinta da continuidade. Para uma superfície vertical, tomando $s$ positivo para baixo, no sentido da gravidade, ela assume a forma de camada limite

$$\rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp_{0}}{ds}}+\rho g.$$

O fluido externo está em repouso, de modo que seu gradiente de pressão é hidrostático:

$${\frac {dp_{0}}{ds}}=\rho _{0}g.$$

Essa condição se aplica ao fluido externo, não à velocidade dentro da camada limite. Substituindo o gradiente de pressão e tomando a viscosidade dinâmica como constante, obtém-se

$$u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\mu }{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+g{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho }}.$$

Com a aproximação linear para a densidade,

$$u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\simeq {\frac {\mu }{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0}).$$

Na aproximação de Boussinesq, a densidade é substituída por $\rho _{0}$ fora do termo de empuxo. Com $\nu =\mu /\rho _{0}$, a equação fica

$$u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-g\beta (T-T_{0}).$$

O sinal negativo do termo térmico resulta da escolha do eixo positivo para baixo. Para $\beta >0$ e $T>T_{0}$, o empuxo atua para cima.

Para adimensionalizar a equação, os comprimentos são divididos por um comprimento característico $L_{c}$ e as velocidades por uma velocidade de referência $V$. A temperatura é expressa pela diferença em relação ao fluido externo, dividida por $T_{s}-T_{0}$:

• $s^{*}=s/L_{c}$
• $y^{*}=y/L_{c}$
• $u^{*}=u/V$
• $v^{*}=v/V$
• $T^{*}=(T-T_{0})/(T_{s}-T_{0})$.

Os asteriscos assinalam variáveis adimensionais. Definindo $\mathrm {Re} _{L}=VL_{c}/\nu$, de modo que $V=\mathrm {Re} _{L}\nu /L_{c}$, a substituição fornece

$$u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=-\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial (y^{*})^{2}}}.$$

O agrupamento entre colchetes é o número de Grashof:

$$\mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.$$

A equação adimensional pode, assim, ser escrita como

$$u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=-{\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}T^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial (y^{*})^{2}}}.$$

A velocidade $V$ usada nessa dedução é uma escala de referência. Sua introdução não pressupõe que exista um escoamento externo forçado.

Teorema π de Buckingham

Outra dedução usa a análise dimensional e o teorema π de Buckingham. O termo de empuxo por unidade de volume, após a subtração do equilíbrio hidrostático, é

$$f_{b}=(\rho -\rho _{0})g\simeq -\rho _{0}\beta g\Delta T,$$

com a mesma convenção de sinal adotada na dedução anterior. Para as grandezas usadas na transferência de calor por convecção natural, as dimensões podem ser expressas em massa ${\mathsf {M}}$, comprimento ${\mathsf {L}}$, tempo ${\mathsf {t}}$ e temperatura ${\mathsf {\Theta }}$:

Grandeza	Símbolo	Dimensões
Comprimento característico	$L$	${\mathsf {L}}$
Viscosidade dinâmica	$\mu$	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {t}}^{-1}$
Calor específico a pressão constante	$c_{p}$	${\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {t}}^{-2}{\mathsf {\Theta }}^{-1}$
Condutividade térmica	$k$	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}{\mathsf {t}}^{-3}{\mathsf {\Theta }}^{-1}$
Coeficiente de expansão volumétrica	$\beta$	${\mathsf {\Theta }}^{-1}$
Aceleração da gravidade	$g$	${\mathsf {L}}{\mathsf {t}}^{-2}$
Diferença de temperatura	$\Delta T$	${\mathsf {\Theta }}$
Densidade	$\rho$	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{-3}$
Coeficiente de transferência térmica	$h$	${\mathsf {M}}{\mathsf {t}}^{-3}{\mathsf {\Theta }}^{-1}$

Nessa base dimensional, o calor tem dimensão de energia, ${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {t}}^{-2}$, e não constitui uma quinta dimensão independente. Tomadas como grandezas independentes, as nove variáveis da tabela permitem formar $9-4=5$ grupos adimensionais independentes. O teorema relaciona essa contagem ao número de variáveis e ao número de dimensões independentes.

Escolhendo $L$, $\rho$, $\mu$ e $\beta$ como variáveis de referência, os produtos iniciais têm a forma

$$\Pi _{X}=L^{a_{X}}\rho ^{b_{X}}\mu ^{c_{X}}\beta ^{d_{X}}X,\qquad X\in \{c_{p},k,g,\Delta T,h\}.$$

Os expoentes são determinados exigindo que as dimensões se anulem. Depois de combinar os produtos obtidos, um conjunto possível de cinco grupos independentes é

$$\pi _{1}={\frac {\mu c_{p}}{k}}=\mathrm {Pr} ,$$

$$\pi _{2}={\frac {L^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}},$$

$$\pi _{3}=\beta \Delta T,$$

$$\pi _{4}={\frac {hL}{k}}=\mathrm {Nu} ,$$

$$\pi _{5}={\frac {c_{p}}{gL\beta }}.$$

Os grupos $\mathrm {Pr}$ e $\mathrm {Nu}$ são os números de Prandtl e de Nusselt. Para obter o número de Grashof, basta multiplicar $\pi _{2}$ por $\pi _{3}$:

$$\pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .$$

Usando $\nu =\mu /\rho$ e $\Delta T=T_{s}-T_{0}$, chega-se à mesma expressão obtida pela equação da quantidade de movimento:

$$\mathrm {Gr} ={\frac {g\beta \Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}.$$

A análise dimensional determina agrupamentos possíveis, mas não estabelece sozinha quais deles são necessários em um modelo físico simplificado. Na convecção forçada, o número de Reynolds caracteriza a relação entre inércia e viscosidade. Na convecção natural, o número de Grashof caracteriza o empuxo em relação à escala viscosa. A transferência de calor também depende do número de Prandtl e das condições do problema.

Raciocínio físico

A interpretação do número de Grashof pode ser obtida pela comparação das escalas de força. Para uma região de tamanho característico $L$, o módulo da força resultante de empuxo tem a escala

$$F_{b}\sim g|\Delta \rho |L^{3}\simeq \rho g|\beta \Delta T|L^{3}.$$

Com uma velocidade característica $V$, a tensão de cisalhamento viscosa tem a escala $\tau \sim \mu V/L$. Sobre uma área da ordem de $L^{2}$, isso fornece

$$F_{\mu }\sim \tau L^{2}\sim \mu VL.$$

A razão entre essas escalas é

$${\frac {F_{b}}{F_{\mu }}}\sim {\frac {\rho g|\beta \Delta T|L^{3}}{\mu VL}}={\frac {g|\beta \Delta T|L^{2}}{\nu V}}={\frac {|\mathrm {Gr} |}{\mathrm {Re} }},$$

com $\mathrm {Re} =VL/\nu$. Para uma velocidade arbitrária, essa razão não é simplesmente o número de Grashof. Escolhendo a escala de velocidade viscosa

$$V_{\nu }={\frac {\nu }{L}},$$

o número de Reynolds baseado nessa escala é igual a um, e a comparação das forças fornece $|\mathrm {Gr} |$. É nesse sentido de escala que o número de Grashof compara empuxo e viscosidade.

Para $\mathrm {Gr} \neq 0$, a mesma velocidade de referência pode ser escrita como

$$V_{\nu }={\frac {L^{2}g|\beta \Delta T|}{\nu |\mathrm {Gr} |}}={\frac {\nu }{L}}.$$

Essa identidade não determina a velocidade real do fluido. A relação $\mu =\rho V_{\nu }L$ resulta da escolha da escala, e não de uma lei que faça a viscosidade depender da velocidade do escoamento.

Efeitos do número de Grashof no escoamento de diferentes fluidos

Nehad Ali Shah e seus coautores reuniram 30 artigos em uma revisão publicada em 2018 sobre os efeitos do número de Grashof e de parâmetros de convecção mista. A comparação empregou a inclinação de retas de regressão linear ajustadas aos dados dos trabalhos selecionados. Nos casos examinados, os autores encontraram aumento moderado da velocidade e redução dos valores dos perfis de temperatura com o aumento do parâmetro de empuxo.

A revisão encontrou um efeito positivo muito pequeno sobre o número de Nusselt local. Também reuniu resultados de aumento do número de Sherwood, do número de Bejan, da geração de entropia, do número de Stanton e do gradiente de pressão, além de reduções nos perfis de concentração, na força de atrito e nos perfis relativos a microrganismos móveis. Essas conclusões dizem respeito aos problemas reunidos na revisão. O aumento de $\mathrm {Gr}$, por si só, não determina que a temperatura da parede aumente, pois sua definição também depende do comprimento característico, da gravidade e das propriedades do fluido.

Ver também

• Número de Rayleigh, produto dos números de Grashof e de Prandtl, usado na caracterização da convecção natural
• Número de Prandtl, relaciona a difusividade de momento à difusividade térmica
• Número de Reynolds, relaciona efeitos inerciais e viscosos em escoamentos
• Convecção natural, movimento de um fluido provocado por diferenças de densidade sob a ação de uma força de corpo

Leitura adicional

• Çengel, Yunus A. (2007). Heat and Mass Transfer: A Practical Approach (em inglês) 3ª ed. Boston: McGraw-Hill 
• Eckert, Ernst R. G.; Drake, Robert M., Jr. (1972). Analysis of Heat and Mass Transfer (em inglês). Nova Iorque: McGraw-Hill. ISBN 0070189250 
• Jaluria, Yogesh (1980). Natural Convection: Heat and Mass Transfer (em inglês) 1ª ed. Oxford, Nova Iorque: Pergamon Press. ISBN 0080254322 
• Welty, James R.; Wicks, Charles E.; Wilson, Robert E. (1976). Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer (em inglês) 2ª ed. Nova Iorque: John Wiley & Sons