Função periódica

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O seno e o cosseno são funções periódicas.

Em matemática, uma função diz-se periódica se esta repete ao longo da variável independente com um determinado período constante.[1] Exemplos de funções periódicas bem conhecidas são as funções trigonométricas seno, co-seno, secante e co-secante que possuem período igual a 2π, e tangente e co-tangente, com período igual a π.[1]

Definição de função real periódica[editar | editar código-fonte]

Um função é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que para todo x real.[1]

Observe que se uma função tem período T então para todo n inteiro, ou seja, é também periódica de período nT, pois:



A função constante é T-periódica para qualquer .

O conjunto dos períodos de uma função , , pode ser vazio, discreto ou denso em . Se esse conjunto for vazio, a função é aperiódica, se for discreto então pode ser escrito na forma onde é um real positivo, chamado de período fundamental.

Um exemplo de função periódica não constante com períodos densos em é a função indicadora de em , definida como:

Para tanto, temos o seguinte teorema: Se é uma função integrável T-periódica, então o valor da integral definida dentro de um período não depende do ponto inicial, ou seja:

não depende de x.

Portanto, temos a seguinte identidade:

Demonstração[2]: Escrevemos como um número inteiro mais uma parte fracionária e concluímos que podemos escrever , onde , isto é, .

Mudança de variáveis e :

Da periodicidade, temos que e

Como u e v são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser escritas em termos de t da seguinte forma:

Propriedades de funções reais periódicas[editar | editar código-fonte]

O conjunto das funções periódicas de um certo período formam uma álgebra, ou seja, se e são T-periódicas, então:

I) é T-periódica
II) é T-periódica para todo real
III) é T-periódica

possui ainda a propriedade de ser fechado em relação à translação:

Iv) é T-periódica

O mesmo pode não acontecer quando não tentamos realizar as mesmas operações com função periódicas de períodos diferentes. Exemplo:

e são periódicas com período e , respectivamente. No entanto é aperiódica.

Se uma função é T-periódica e integrável, podemos definir sua média como:

Para toda função real periódica com período fundamental , definimos a sua frequência e sua velocidade angular como:

  • e

Por consequência[2],

A soma de funções periódicas é uma não é uma função periódica;

Seja uma função real par diferenciável, então

A única função real par e ímpar é a função

Toda função real pode ser escrita de forma única como a soma de uma função ímpar e outra par.

Funções Complexas Duplamente Periódicas[editar | editar código-fonte]

Em análise complexa, existem funções meromorfas que são duplamente periódicas, ou seja:

números complexos cuja razão não é um número real.

As funções elípticas são exemplos de funções duplamente periódicas.

funções inteiras não constantes, no entanto, não podem ser duplo periódicas com períodos e linearmente independentes nos reais. Pois tais funções seriam inevitavelmente limitadas.

Referências

  1. a b c Gabriel Alessandro de Oliveira. «Funções periódicas». R7. Brasil Escola. Consultado em 28 de abril de 2013 
  2. a b Azevedo, Fábio. Análise de Fourier. [S.l.: s.n.] pp. p13 – 14 
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