Em matemática, uma função diz-se periódica se esta repete ao longo da variável independente com um determinado período constante.[1] Exemplos de funções periódicas bem conhecidas são as funções trigonométricas seno, co-seno, secante e co-secante que possuem período igual a 2π, e tangente e co-tangente, com período igual a π.[1]
Um função
é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que
para todo x real.[1]
Observe que se uma função tem período T então
para todo n inteiro, ou seja, é também periódica de período nT, pois:
A função constante
é T-periódica para qualquer
.
O conjunto dos períodos de uma função
,
, pode ser vazio, discreto ou denso em
. Se esse conjunto for vazio, a função é aperiódica, se for discreto então pode ser escrito na forma
onde
é um real positivo, chamado de período fundamental.
Um exemplo de função periódica não constante com períodos densos em
é a função indicadora de
em
, definida como:

Para tanto, temos o seguinte teorema: Se
é uma função integrável T-periódica, então o valor da integral definida dentro de um período não depende do ponto inicial, ou seja:
não depende de x.
Portanto, temos a seguinte identidade:
Demonstração[2]: Escrevemos
como um número inteiro
mais uma parte fracionária
e concluímos que podemos escrever
, onde
, isto é,
.
Mudança de variáveis
e
:
Da periodicidade, temos que
e
Como u e v são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser escritas em termos de t da seguinte forma:
O conjunto das funções periódicas de um certo período
formam uma álgebra, ou seja, se
e
são T-periódicas, então:
- I)
é T-periódica
- II)
é T-periódica para todo
real
- III)
é T-periódica
possui ainda a propriedade de ser fechado em relação à translação:
- Iv)
é T-periódica
O mesmo pode não acontecer quando não tentamos realizar as mesmas operações com função periódicas de períodos diferentes. Exemplo:
e
são periódicas com período
e
, respectivamente. No entanto
é aperiódica.
Se uma função
é T-periódica e integrável, podemos definir sua média como:

Para toda função real periódica com período fundamental
, definimos a sua frequência
e sua velocidade angular
como:
e

Por consequência[2],
A soma de funções periódicas é uma não é uma função periódica;
Seja
uma função real par diferenciável, então
A única função real par e ímpar é a função
Toda função real pode ser escrita de forma única como a soma de uma função ímpar e outra par.
Em análise complexa, existem funções meromorfas que são duplamente periódicas, ou seja:
números complexos cuja razão não é um número real.
As funções elípticas são exemplos de funções duplamente periódicas.
funções inteiras não constantes, no entanto, não podem ser duplo periódicas com períodos
e
linearmente independentes nos reais. Pois tais funções seriam inevitavelmente limitadas.
Referências
- ↑ a b c Gabriel Alessandro de Oliveira. «Funções periódicas». R7. Brasil Escola. Consultado em 28 de abril de 2013
- ↑ a b Azevedo, Fábio. Análise de Fourier. [S.l.: s.n.] pp. p13 – 14