Função periódica

O seno e o cosseno são funções periódicas.

Em matemática, uma função diz-se periódica se esta repete ao longo da variável independente com um determinado período constante. Exemplos de funções periódicas bem conhecidas são as funções trigonométricas seno, co-seno, secante e co-secante que possuem período igual a 2π, e tangente e co-tangente, com período igual a π.

Definição de função real periódica

Um função $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que $f(x+T)=f(x)$ para todo x real.

Observe que se uma função tem período T então $f(x+nT)=f(x)$ para todo n inteiro, ou seja, é também periódica de período nT, pois:

$f(x)=f(t+T)=f(t+2T)=f(t+3T)=...=f(t+nT)$

A função constante $f(x)=c$ é T-periódica para qualquer $T>0$.

O conjunto dos períodos de uma função $f(x)$, $\mathbb {T} :=\{T\in \mathbb {R} :\forall x\in \mathbb {R} ,f(x+T)=f(x)\}$, pode ser vazio, discreto ou denso em $\mathbb {R}$. Se esse conjunto for vazio, a função é aperiódica, se for discreto então pode ser escrito na forma $\{nT_{f},n\in \mathbb {Z} \}$ onde $T_{f}$ é um real positivo, chamado de período fundamental.

Um exemplo de função periódica não constante com períodos densos em $\mathbb {R}$ é a função indicadora de $\mathbb {Q}$ em $\mathbb {R}$, definida como:

• $\mathrm {X} _{\mathbb {Q} }(x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&c.c.\end{array}}\right.$

Para tanto, temos o seguinte teorema: Se $f(t)$é uma função integrável T-periódica, então o valor da integral definida dentro de um período não depende do ponto inicial, ou seja:

$\int _{x}^{x+T}f(t)dt$ não depende de x.

Portanto, temos a seguinte identidade:

$\int _{0}^{T}f(t)dt=\int _{-T/2}^{T/2}f(t)dt$

Demonstração: Escrevemos ${\tfrac {x}{T}}=n+a$como um número inteiro $n$mais uma parte fracionária $a\in [0,1)$e concluímos que podemos escrever $x=nT+y$, onde $y=aT$, isto é, $0\leq y\leq T$.

$I=\int _{x}^{x+T}f(t)dt=\int _{nT+y}^{(n+1)T+y}f(t)dt$

$=\int _{nT+y}^{(n+1)T}f(t)dt+\int _{(n+1)T}^{(n+1)T+y}f(t)dt$

Mudança de variáveis $t=nT$ e $t=(n+1)T+v$:

$I=\int _{y}^{T}f(u+nT)du+\int _{0}^{y}f(v+(n+1)T)dv$

Da periodicidade, temos que $f(u)=f(u+nT)$e $f(v)=f(v+(n+1)T):$

$I=\int \limits _{y}^{T}f(u)du+\int _{0}^{y}f(v)dv$

$=\int _{0}^{y}f(v)dv+\int _{y}^{T}f(u)du$

Como u e v são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser escritas em termos de t da seguinte forma:

$I=\int _{0}^{y}f(t)dt+\int _{y}^{T}f(t)dt$

$=\int _{0}^{T}f(t)dt$

Propriedades de funções reais periódicas

O conjunto das funções periódicas de um certo período $T$ formam uma álgebra, ou seja, se $f(x)$ e $g(x)$ são T-periódicas, então:

I) $\displaystyle f(x)+g(x)$ é T-periódica

II) $\displaystyle \alpha f(x)$ é T-periódica para todo $\alpha$ real

III) $\displaystyle f(x)*g(x)$ é T-periódica

possui ainda a propriedade de ser fechado em relação à translação:

Iv) $\displaystyle f(x+h)$ é T-periódica

O mesmo pode não acontecer quando não tentamos realizar as mesmas operações com função periódicas de períodos diferentes. Exemplo:

$\displaystyle \sin(x)$ e $\displaystyle \sin(\pi x)$ são periódicas com período $\displaystyle 2\pi$ e $\displaystyle 2$, respectivamente. No entanto $\displaystyle \sin(x)+\sin(\pi x)$ é aperiódica.

Se uma função $f(x)$ é T-periódica e integrável, podemos definir sua média como:

$\mu ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(x)dx$

Para toda função real periódica com período fundamental $\displaystyle T_{f}>0$, definimos a sua frequência $f$ e sua velocidade angular $\omega$ como:

• $f={\frac {1}{T}}$ e
• $\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f$

Por consequência,

A soma de funções periódicas é uma não é uma função periódica;

Seja $f(x)$uma função real par diferenciável, então $f'(x)=0.$

A única função real par e ímpar é a função $f(x)=0.$

Toda função real pode ser escrita de forma única como a soma de uma função ímpar e outra par.

Funções Complexas Duplamente Periódicas

Em análise complexa, existem funções meromorfas que são duplamente periódicas, ou seja:

$f(x+T_{1})=f(x+T_{2})=f(x){\mbox{ sendo }}T_{1}{\mbox{ e }}T_{2}$ números complexos cuja razão não é um número real.

As funções elípticas são exemplos de funções duplamente periódicas.

funções inteiras não constantes, no entanto, não podem ser duplo periódicas com períodos $T_{1}$e $T_{2}$ linearmente independentes nos reais. Pois tais funções seriam inevitavelmente limitadas.