Semelhança de triângulos

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Semelhança de triângulos é um tipo de relação que é estabelecida entre triângulos quando eles possuem os lados proporcionais e os ângulos congruentes.[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.[2]

Sendo que dois lados homólogos (homo=mesmo, logos=lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.

Semelhanca de tri definicao.svg

Razão de semelhança[editar | editar código-fonte]

Sendo a razão de semelhança entre os lados homólogos, temos:

.

Então chamamos de razão de semelhança entre dois triângulos.

Observe também que, se , os triângulos são congruentes.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades:

  • Reflexiva: todo triângulo é semelhante a si mesmo.

  • Simétrica: se um triângulo é semelhante a outro, esse outro é semelhante ao primeiro.

  • Transitiva: se um triângulo é semelhante a outro, que por sua vez é semelhante a um terceiro triângulo, temos que o primeiro e o terceiro triângulo também são semelhantes.

Teorema Fundamental[editar | editar código-fonte]

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Para demonstrar que dois triângulos são semelhantes é, conforme a definição, necessário demonstrar que eles têm ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais.

Portanto, essa demonstração será divida em duas partes, para demonstrar a relação entre os ângulos e os lados.

1° Parte: Ângulos congruentes[editar | editar código-fonte]

Tem-se, por hipótese que .

Assim percebe-se que, pelo postulado das paralelas, temos:

e , pois são ângulos correspondentes.

O ângulo é comum aos dois triângulos.

Logo os dois triângulos possuem ângulos ordenadamente congruentes.

2° Parte: Lados homólogos proporcionais[editar | editar código-fonte]

Por se tratar de um par de paralelas cortadas por duas transversais, é possível utilizar o teorema de Tales.

Fazendo isso, pode-se observar a relação:

Teorema fundamental da semelhança 2.svg

É possível construir uma paralela a que passe por .

Assim, essa paralela interceptará em um ponto .

Essa construção garante que:

Logo o quadrilátero é um paralelogramo.

Sendo assim: e .

Utilizando mais uma vez o teorema de Tales (dessa vez com e sendo paralelas e e transversais) obtêm-se:

Como , pode-se escrever:

Logo:

E então têm-se que os lados homólogos são proporcionais.

Como os dois triângulos têm os ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes, por definição.

Logo, se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Casos ou critérios de semelhança[editar | editar código-fonte]

1° Caso[editar | editar código-fonte]

Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

1 Caso de semelhança.svg

Queremos demonstrar que, para dois triângulos e , vale:

Para demonstrar isso, é útil supor, sem perda de generalidade, que os triângulos não são congruentes e que

Seja um ponto de tal que e seja o triângulo com e no lado .

Assim, é possível observar a seguinte congruência entre triângulos:

Observe que, como (por hipótese) e (por construção), tem-se que , o que implica .

Conforme o teorema fundamental da semelhança, demonstrado acima, temos que implica .

Visto que , vale que .

Logo, para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que dois de seus ângulos sejam ordenadamente congruentes.

2° Caso[editar | editar código-fonte]

Se dois lados de um triângulos são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os dois triângulos são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga a do 1° caso, porém se utiliza de outro caso de congruência.

3° Caso[editar | editar código-fonte]

Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga à demonstração dos dois casos anteriores, porém utiliza outro caso de congruência.

Propriedades notáveis[editar | editar código-fonte]

Seja dois triângulos semelhantes nos quais a razão de semelhança é , vale:[2]

  • a razão entre os perímetros é ;
  • a razão entre as alturas homólogas é ;
  • a razão entre as medianas homólogas é ;
  • a razão entre as bissetrizes internas homólogas é ;
  • a razão entre os raios dos círculos inscritos é ;
  • a razão entre os raios dos círculos circunscritos é .

Ou seja, a razão entre dois elementos lineares homólogos é .

Quanto à áreas temos os seguintes resultados: a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Demonstrações das propriedades anteriores.

Razão entre os perímetros[editar | editar código-fonte]

Triângulos semelhantes

Se dois triângulos são semelhantes de razão , então a razão entre os perímetros também é .

Assim, seja os triângulos e , temos:

.

Para essa demonstração é útil escrever essas relações da seguinte forma:

Visto que o perímetro é a soma da medida de todos os lados, tem-se:

(perímetro de )

(perímetro de )

Assim, tem-se que a razão entre os perímetros é:

Logo a razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão entre os triângulos.

Razão entre as alturas[editar | editar código-fonte]

Imagem para demonstração

Se dois triângulos são semelhantes de razão , então a razão entre as alturas também é .

Por hipótese, tem-se:

Seja o segmento altura relativa ao vértice em e o segmento altura relativa ao vértice em , tem-se:

Como e , temos que .

Dessa semelhança, obtêm-se:

Como , e , pode-se escrever:

.

Logo a razão entre as medidas das alturas de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança entre os triângulos.

Razão entre as áreas[editar | editar código-fonte]

Se dois triângulos são semelhantes de razão , então a razão entre as áreas é .

Assim, seja os triângulos e , temos:

Imagem para demonstração da razão entre as áreas de triângulos semelhantes

Sendo a medida da altura relativa ao lado de e a medida da altura relativa ao lado de , temos também que:

.

Observe também que e .

Então, é possível calcular a razão entre a área dos triângulos:

Logo a razão entre as medidas das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os triângulos.

  1. «Semelhança de triângulos - Brasil Escola». Brasil Escola. Consultado em 4 de dezembro de 2016 
  2. a b Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de matemática elementar 9: Geometria plana. São Paulo: Atual