Distribuição de probabilidade condicional

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Uma distribuição de probabilidade conjunta com os valores observados.

Na teoria da probabilidade e estatística, dadas duas variáveis aleatórias e distribuídas conjuntamente, a distribuição de probabilidade condicional de dado é a distribuição de probabilidade de quando é um determinado valor conhecido. Em alguns casos, as probabilidades condicionais podem ser expressas como funções contendo um valor não especificado de como um parâmetro. No caso em que ambos e são variáveis categóricas, uma tabela de probabilidade condicional é normalmente usada para representar a probabilidade condicional. A distribuição condicional contrasta com a distribuição marginal de uma variável aleatória, que é a distribuição sem referência para o valor da outra variável.

Se a distribuição condicional de dado é uma distribuição contínua, então a sua função densidade de probabilidade é conhecida como a função densidade condicional. As propriedades de uma distribuição condicional, tal como o momento, são muitas vezes chamadas por nomes correspondentes, tais como média condicional e variância condicional.

Geralmente, pode-se referir a distribuição condicional de um subconjunto de um conjunto de mais de duas variáveis; esta distribuição condicional é contingente sobre os valores de todas as variáveis restantes, e se mais do que uma variável é incluída no subconjunto então esta distribuição condicional é a distribuição conjunta condicional das variáveis.

Distribuições discretas[editar | editar código-fonte]

Para variáveis aleatórias discretas, a função massa de probabilidade condicional de dada a ocorrência do valor de pode ser escrita de acordo com a sua definição como:

.

Devido à ocorrência de  em um denominador, isto é definido apenas para não-nulos (portanto, estritamente positivos) .[1]

A relação com a distribuição de probabilidade de dado é:

.

Distribuições contínuas[editar | editar código-fonte]

Da mesma forma, para variáveis aleatórias contínuas, a função de densidade de probabilidade condicional de dada a ocorrência do valor de pode ser escrita como

,

onde dá a densidade conjunta de e , enquanto que dá a densidade marginal de . Também neste caso é necessário que .

A relação com a distribuição de probabilidade de dado é dada por:

.[2]

O conceito de uma distribuição condicional de uma variável aleatória contínua não é tão intuitivo quanto parece: o paradoxo de Borel mostra que funções densidade de probabilidade condicionais não precisam ser invariantes sob transformações de coordenadas.

Relação com a independência[editar | editar código-fonte]

As variáveis aleatórias , são independentes se e somente se a distribuição condicional de dado é, para todos os valores possíveis de , igual à distribuição não condicional de . Para variáveis aleatórias discretas isto significa que para todos os e . Para variáveis aleatórias contínuas e , tendo uma função de densidade conjunta, isso significa que para todos os e .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Visto como uma função de para um dado , é uma probabilidade e, portanto, a soma de todos os (ou a integral, se é uma densidade de probabilidade condicional) é igual a 1. Visto como uma função de dado é uma função de verossimilhança, de modo que a soma de todos os não precisa ser 1.

Formulação teórica[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço de probabilidade, um campo- em , e uma variável aleatória de valor real (mensurável a respeito do campo- de Borel em ). Pode se mostrar que existe uma função tal que é a medida de probabilidade em para cada (isto é, é regular) e (quase certamente) para todo . Para qualquer , a função é chamada de distribuição de probabilidade condicional de dado . Neste caso,

quase certamente.[3]

Relação com a expectativa condicional[editar | editar código-fonte]

Para qualquer evento , definindo a função indicadora:

que é uma variável aleatória. Observe que a expectativa dessa variável aleatória é igual à probabilidade de em si:

.

Então, a probabilidade condicional dado é uma função de tal forma que é a expectativa condicional da função indicadora para :

Em outras palavras, é uma função -mensurável que satisfaz

.

A probabilidade condicional é regular se é também uma medida da probabilidade para todo . Uma expectativa de uma variável aleatória em relação a uma probabilidade condicional regular é igual a sua expectativa condicional.

  • Para o sigma-álgebra trivial a probabilidade condicional é uma função constante, .
  • Para , como descrito acima, .

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Liberal, Tarciana. Distribuições Condicionais. Curso de Probabilidade II, Aula 11, Departamento de Estatística da UFPB.
  2. Wooldridge, Jeffrey M. Introdução À Econometria - Uma Abordagem Moderna (PDF) 4ª ed. ed. [S.l.]: Thomson 
  3. Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure 3rd ed. New York: John Wiley and Sons