Desigualdade de Boole

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Em teoria da probabilidade, a desigualdade de Boole diz que, para qualquer conjunto de eventos finito ou contável, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça não é maior que a soma das probabilidades dos eventos individuais. A desigualdade de Boole é nomeada em homenagem a George Boole.

Formalmente, para um conjunto contável de eventos de , temos

Em termos de teoria da medida, a desigualdade de Boole segue do fato de que uma medida (e, certamente, qualquer medida de probabilidade) é -sub-aditivo.

Prova[editar | editar código-fonte]

Prova usando indução[editar | editar código-fonte]

A desigualdade de Boole pode ser provada para conjuntos de eventos finitos, utilizando o método de indução.

Para o caso , segue-se que

.

Para o caso , tem-se que

.

Como , e porque a operação de união é associativa, tem-se que

.

Como

,

pelo primeiro axioma de probabilidade, tem-se que

,

e, portanto,

.

Prova sem o uso de indução[editar | editar código-fonte]

Para quaisquer eventos em um espaço de probabilidade, tem-se que

Um dos axiomas de um espaço de probabilidade é que, se são subconjuntos disjuntos do espaço de probabilidade, então

o que é chamado de aditividade contável.

Se então

De fato, a partir dos axiomas de uma distribuição de probabilidade,

Observando-se que ambos os termos à direita são não-negativos.

Então é preciso modificar os conjuntos de  para que eles se torne disjuntos.

Se , então sabe-se que

Portanto, pode-se fazer a seguinte equação:

Desigualdades de Bonferroni[editar | editar código-fonte]

A desigualdade de Boole pode ser generalizada para encontrar limitantes superiores e inferiores sobre a probabilidade de uniões finitas de eventos.[1] Estes limites são conhecidos como desigualdades de Bonferroni, em homenagem à Carlo Emilio Bonferroni.

Definindo

e

bem como

para todos os números inteiros de em .

Então, para  ímpares em ,

,

e para  pares em ,

.

A desigualdade de Boole é recuperada definindo . Quando , então a igualdade se mantém e a identidade resultante é o princípio da inclusão–exclusão.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Casella, George; Berger, Roger L. (2002). Statistical Inference. [S.l.]: Duxbury. pp. 11–13. ISBN 0-534-24312-6 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Este artigo incorpora material de Bonferroni inequalities do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.

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