Regressão linear

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Em estatística ou econometria, regressão linear é uma equação para se estimar a condicional (valor esperado) de uma variável y, dados os valores de algumas outras variáveis x.

Exemplo de regressão linear.

A regressão, em geral, trata da questão de se estimar um valor condicional não esperado.

A regressão linear é chamada "linear" porque se considera que a relação da resposta às variáveis é uma função linear de alguns parâmetros. Os modelos de regressão que não são uma função linear dos parâmetros se chamam modelos de regressão não-linear. Sendo uma das primeiras formas de análise regressiva a ser estudada rigorosamente, e usada extensamente em aplicações práticas. Isso acontece porque modelos que dependem de forma linear dos seus parâmetros desconhecidos, são mais fáceis de ajustar que os modelos não-lineares aos seus parâmetros, e porque as propriedades estatísticas dos estimadores resultantes são fáceis de determinar.[1]

Modelos de regressão linear são frequentemente ajustados usando a abordagem dos mínimos quadrados, mas que também pode ser montada de outras maneiras, tal como minimizando a "falta de ajuste" em alguma outra norma (com menos desvios absolutos de regressão), ou através da minimização de uma penalização da versão dos mínimos quadrados. Por outro lado, a abordagem de mínimos quadrados pode ser utilizado para ajustar a modelos que não são modelos lineares. Assim, embora os termos "mínimos quadrados" e "modelo linear" estão intimamente ligados, eles não são sinônimos. [carece de fontes?]

Equação da Regressão Linear[editar | editar código-fonte]

Para se estimar o valor esperado, usa-se de uma equação, que determina a relação entre ambas as variáveis.

Em que: - Variável explicada (dependente); é o valor que se quer atingir;

- É uma constante, que representa a interceptação da reta com o eixo vertical;

- É outra constante, que representa o declive(coeficiente angular)da reta;

- Variável explicativa (independente), representa o fator explicativo na equação;

- Variável que inclui todos os factores residuais mais os possíveis erros de medição. O seu comportamento é aleatório, devido à natureza dos factores que encerra. Para que essa fórmula possa ser aplicada, os erros devem satisfazer determinadas hipóteses, que são: serem variáveis normais, com a mesma variância (desconhecida), independentes e independentes da variável explicativa X.

Cálculo dos fatores e [editar | editar código-fonte]

Definindo e , temos que e se relacionam por:

Desenvolvimento[editar | editar código-fonte]

Estas fórmulas podem ser desenvolvidas a partir da definição de mínimos quadrados

O objetivo é determinar e de forma que a soma dos quadrados dos erros seja mínima, ou seja, devemos minimizar

Desenvolvendo este quadrado e eliminando os termos constantes (ou seja, aqueles que não têm termos em e ), chega-se a:

A partir desse ponto, pode-se resolver usando-se cálculo (tomando as derivadas parciais, etc), ou através de uma transformação de coordenadas:

ou

Transformando a expressão a ser minimizada em:

ou

Esta expressão se separa na soma de duas expressões quadráticas independentes, que podem ser minimizadas usando matemática elementar:

Cujos valores minimizadores são:

Memorização[editar | editar código-fonte]

Uma forma fácil de memorizar esta expressão é escrever:

e, em seguida, somar as colunas:

Intervalos de confiança[editar | editar código-fonte]

O valor estimado de , , deve ser analisado através da distribuição t de Student, porque

tem a distribuição t de Student com n-2 graus de liberdade (ver Fisher, R. A. (1925). "Applications of "Student's" distribution". Metron 5: 90–104.), em que:

A variância de , pode ser estimada através dos erros observados:

se distribui como uma Chi quadrado com n-2 graus de liberdade.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações Externas[editar | editar código-fonte]

  • SysLinea 0.1.2 : Programa de código aberto com regressão linear e não linear.

Referências

  1. http://www.fisica.ufs.br/egsantana/cinematica/regresion/regresion.htm Regressão linear com experimêntos físicos

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • REIS, E., Estatistica Descritiva (2ª ed.). Lisboa: Edições Sílabo, 1994