Corpo ordenado
Aspeto
Em matemática, um corpo ordenado é um corpo no qual existe uma relação de ordem total, e em que as operações binárias do corpo são compatíveis com essa relação de ordem.[1]
Definição
[editar | editar código-fonte]é um corpo ordenado se:[1]
- é um corpo
- é uma relação de ordem total em K
Destes axiomas pode-se deduzir que, se , então e , portanto (pelos axiomas da adição e pela transitividade da relação de ordem) .[1]
Então, temos que o subconjunto é fechado para as operações de soma e produto.[1]
Definição alternativa
[editar | editar código-fonte]Uma outra forma de definir um corpo ordenado parte do subconjunto dos números positivos. Temos então:[1]
- Seja K um corpo, e um subconjunto de K (chamado de conjunto dos números positivos) satisfazendo as seguintes propriedades:
- Para cada elemento x de K, exatamente uma das três condições seguintes é valida:
- é fechado para as operações de soma e produto, ou seja,
- Então a relação faz com que K se torne um corpo ordenado.
Propriedades
[editar | editar código-fonte]- O quadrado de qualquer elemento não nulo é positivo. A prova é simples: seja x = a2. Então temos que a = 0, a é positivo, ou -a é positivo. a não pode ser zero, porque a² não é zero. Se a for positivo, então a . a = x é positivo. Se a é negativo, então -a é positivo, e x = (-a) . (-a) é positivo.[1]
- Um corolário é que 1 é positivo.[1]
- Outro corolário é que o corpo tem característica zero. Por indução, prova-se que n . 1 (definido intuitivamente como 1 + 1 + ... + 1 (n vezes)) é positivo, mas p . 1 = 0 em corpos de característica p (p primo).[1]
- Todo subcorpo também é um corpo ordenado, com a mesma relação de ordem.[1]
- A soma de um número qualquer de quadrados em um corpo ordenado é diferente de -1. Esta propriedade é óbvia, mas o interessante é que uma forma de recíproca é verdadeira: se um corpo tem a propriedade de que nenhuma soma de quadrados é igual a -1 (ou seja, é um corpo formalmente real), então este corpo admite uma relação de ordem (não necessariamente única) que o torna um corpo ordenado. A demonstração desta propriedade é feita pelo Lema de Zorn.[2] Este teorema foi demonstrado por Artin e Schreier.[1]
- Obviamente, se C for uma extensão de um corpo ordenado K e que contém um elemento i tal que i2 = -1, então C não é um corpo ordenado. Ou seja, nenhum corpo algebricamente fechado é ordenado. Porém se C é um corpo algebricamente fechado que é uma extensão própria finita de um corpo K, então para temos que C = K(i) e K pode ser dotado de uma ordem para torná-lo um corpo ordenado. Este teorema foi demostrado por Artin.[1]
Exemplos
[editar | editar código-fonte]- , o corpo dos números racionais e , o corpo dos números reais [carece de fontes]
- O corpo das funções racionais pode ser dotado de uma relação de ordem que o torna um corpo ordenado. Esta relação é definida ao fazer a função racional f(x) = x ser infinitamente grande, ou seja, x > 1, x > 2, etc. Este corpo ordenado é não-arquimediano. A função racional g(x) = 1/x é um infinitésimo.[3]
- O corpo de Levi-Civita, formado por expressões da forma em que qj são números racionais crescentes e xq são números reais.[Nota 1] Este corpo é não-arquimediano, Cauchy completo e real fechado, e é a menor [Nota 2] extensão dos reais que tem estas três propriedades.[4]
Valor absoluto
[editar | editar código-fonte]Em um corpo ordenado, é possível definir uma função valor absoluto, que associa a cada elemento um elemento positivo ou zero, ou seja:
- |a| = a, se a ≥ 0 ou -a, se a <0
O valor absoluto tem as seguintes propriedades:
- |a| = max(a, -a)
- |a| = |-a|
- |a b| = |a| |b|
- |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdade triangular)
- |a - b| ≥ | |a| - |b| |
- Se r > 0, então |a - b| < r se, e somente se, a - r < b < a + r [5]
Notas e referências
Notas
Referências
- ↑ a b c d e f g h i j k Silvio Levy, 20. Ordered fields and Real fields [https://web.archive.org/web/20080905022120/http://www.msri.org/people/staff/levy/files/Lorenz/20.pdf Arquivado em 5 de setembro de 2008, no Wayback Machine. [em linha]]
- ↑ Keith Conrad, Zorn's Lemma and some applications II [1]
- ↑ H. B. Enderton, Field of Rational Functions [em linha]
- ↑ Khodr Shamseddine, Advances in p-adic and Non-archimedian Analysis (2010), p.219 [google books visualização parcial]
- ↑ Lance Nielsen, Ordered Fields: Axioms and Basic Properties, Absolute Value, p.31 [pdf]