Dízima periódica
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Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período.[1]
Índice
Dízimas[editar | editar código-fonte]
1:2= 0,5= 50% - dízima finita
0,3333333333... - dízima infinita
0, (3) - Período da dízima
Período e Comprimento de uma dízima infinita periódica[editar | editar código-fonte]
0,4629629... =0,4 (629)
período= 629
comprimento do período= 3
Notas:
Comprimento do período é o número de dígitos do período.
Dízima periódica simples[editar | editar código-fonte]
Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula[1] (a parte decimal do número).
Exemplos:
- 0,444444…
- 0,5125125125…
- 0,68686868…
- 0,354235423542..
- 5,73737373...
Dízima periódica composta[editar | editar código-fonte]
Na dízima periódica composta, pode haver uma parte inteira e há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período,[1] (que denominamos de antiperíodo[2]).
Exemplos:
- 0,7888…
- 0,58444444…
- 0,15262626…
- 2,34222222...
Exemplos e notação[editar | editar código-fonte]
A repetição normalmente é representada pelo sinal de reticências:
Outra notação utilizada é a de pôr um traço sobre o período:
Fração geratriz de uma dízima periódica simples[editar | editar código-fonte]
Toda dízima periódica representa um número racional,[1] isto é justificado de forma construtiva, ou seja, encontrando a fração que dá origem à dízima.
Exemplo[editar | editar código-fonte]
1. Seja a dízima . Observamos a repetição do termo 53 formado por dois algarismos, tomamos então o número [1]:
Fizemos isto (multiplicamos ambos membros da equação por 10) para mover a parte não periódica da dízima (o algarismo 2) para antes da vírgula.
2. Agora, multiplicamos novamente a expressão por um múltiplo de 10, desta vez tomando como referência a quantidade de algarismos que formam o período. No caso, são dois algarismos que formam o período (5 e 3), portanto, multiplicamos a expressão por 100 (a quantidade de zeros equivale à quantidade de algarismos do período):
3. Se subtrairmos de temos:
Assim, concluímos que
O raciocínio acima mostra como eliminar a dízima periódica de um número e transformá-lo em fração.
Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.
A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é composto pela parte inteira, o antiperíodo, juntamente do período representando-os como número inteiro e diminuido do antiperíodo e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do antiperíodo.[3]
Ex.: Achar a geratriz de:
- 0,14275275275...
Antiperíodo=14: número de algarismos = 2 (00)
Período = 275: número de algarismos = 3 (999)
Se fizermos , dará
,
Ver também[editar | editar código-fonte]
Referências
- ↑ a b c d e João José Luiz Vianna, Elementos de Arithmetica, capítulo IV. Texto disponível no wikisource
- ↑ «Fração geratriz - Matemática - UOL Educação». educacao.uol.com.br. Consultado em 15 de julho de 2015
- ↑ «Fração geratriz - Matemática - UOL Educação». educacao.uol.com.br. Consultado em 15 de julho de 2015