Dízima periódica

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Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período[1] .

Dízima periódica simples[editar | editar código-fonte]

Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula[1] (a parte decimal do número).

Exemplos:

  • 0,444444…
  • 0,5125125125…
  • 0,68686868…
  • 0,354235423542..
  • 5,73737373...

Dízima periódica composta[editar | editar código-fonte]

Na dízima periódica composta, pode haver uma parte inteira e há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período[1] , (que denominamos de antiperíodo[2] ).

Exemplos:

  • 0,799…
  • 0,58444444…
  • 0,15262626…
  • 2,34222222...

Exemplos e notação[editar | editar código-fonte]

A repetição normalmente é representada pelo sinal de reticências:

  • \frac{1}{3^4} =0,012345679012345679\ldots

  • \frac{1}{3} =0,333333333333\ldots

  • \frac{1}{7} =0,142857142857\ldots

  • \frac{1}{9} =0,111111111111\ldots

Outra notação utilizada é a de pôr um traço sobre o período:

  • \frac{1}{3^4} =0,\overline{012345679}

  • \frac{1}{7} =0,\overline{142857}

  • \frac{1}{9} =0,\overline{1}

  • \frac{1}{3} =0,\overline{3}

Fração geratriz de uma dízima periódica simples[editar | editar código-fonte]

Toda dízima periódica representa um número racional[1] , isto é justificado de forma construtiva, ou seja, encontrando a fração que dá origem à dízima.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

1. Seja a dízima x=1,253535353\ldots\,. Observamos a repetição do termo 53 formado por dois algarismos, tomamos então o número 10x\,[1] :

10x=12,5353535353\ldots\,

Fizemos isto (multiplicamos ambos membros da equação por 10) para mover a parte não periódica da dízima (o algarismo 2) para antes da vírgula.

2. Agora, multiplicamos novamente a expressão por um múltiplo de 10, desta vez tomando como referência a quantidade de algarismos que formam o período. No caso, são dois algarismos que formam o período (5 e 3), portanto, multiplicamos a expressão por 100 (a quantidade de zeros equivale à quantidade de algarismos do período):

1000x = 1253,535353....

3. Se subtrairmos 10x\, de 1000x\, temos:

\begin{array}{rcl}
1000x&=&1253,5353535353\ldots \\
10x&=&12,53535353\ldots\\
990x&=&1241
\end{array}

Assim, concluímos que x=\frac{1241}{990}=1,2535353...

O raciocínio acima mostra como eliminar a dízima periódica de um número e transformá-lo em fração.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é composto pela parte inteira, o antiperíodo, juntamente do período representando-os como número inteiro e diminuido do antiperíodo e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do antiperíodo[3] .

Ex.: Achar a geratriz de:

0,14275275275...

Antiperíodo=14: número de algarismos = 2 (00) Período = 275: número de algarismos = 3 (999)

Se fizermos \frac{14275-14}{99900}\,, dará \frac{14261}{99900}\,

,

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e João José Luiz Vianna, Elementos de Arithmetica, capítulo IV. Texto disponível no wikisource
  2. «Fração geratriz - Matemática - UOL Educação». educacao.uol.com.br. Consultado em 2015-07-15. 
  3. «Fração geratriz - Matemática - UOL Educação». educacao.uol.com.br. Consultado em 2015-07-15.