Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período.

Dízima periódica simples

Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula (a parte decimal do número).

Exemplos:

• 0,444444…
• 0,5125125125…
• 0,68686868…
• 0,354235423542..
• 5,73737373...

Dízima periódica composta

Na dízima periódica composta, pode haver uma parte inteira e há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período, (que denominamos de antiperíodo).

Exemplos:

• 0,799…
• 0,58444444…
• 0,15262626…
• 2,34222222...

Exemplos e notação

A repetição normalmente é representada pelo sinal de reticências:

• ${\frac {1}{3^{4}}}=0,012345679012345679\ldots$${\frac {1}{3^{4}}}=0,012345679012345679\ldots$
  
  
• ${\frac {1}{3}}=0,333333333333\ldots$${\frac {1}{3}}=0,333333333333\ldots$
  
  
• ${\frac {1}{7}}=0,142857142857\ldots$${\frac {1}{7}}=0,142857142857\ldots$
  
  
• ${\frac {1}{9}}=0,111111111111\ldots$${\frac {1}{9}}=0,111111111111\ldots$
  
  

Outra notação utilizada é a de pôr um traço sobre o período:

• ${\frac {1}{3^{4}}}=0,{\overline {012345679}}$${\frac {1}{3^{4}}}=0,{\overline {012345679}}$
  
  
• ${\frac {1}{7}}=0,{\overline {142857}}$${\frac {1}{7}}=0,{\overline {142857}}$
  
  
• ${\frac {1}{9}}=0,{\overline {1}}$${\frac {1}{9}}=0,{\overline {1}}$
  
  
• ${\frac {1}{3}}=0,{\overline {3}}$${\frac {1}{3}}=0,{\overline {3}}$
  
  

Fração geratriz de uma dízima periódica simples

Toda dízima periódica representa um número racional, isto é justificado de forma construtiva, ou seja, encontrando a fração que dá origem à dízima.

Exemplo

1. Seja a dízima $x=1,253535353\ldots \,$$x=1,253535353\ldots \,$. Observamos a repetição do termo 53 formado por dois algarismos, tomamos então o número $10x\,$$10x\,$:

$10x=12,5353535353\ldots \,$$10x=12,5353535353\ldots \,$

Fizemos isto (multiplicamos ambos membros da equação por 10) para mover a parte não periódica da dízima (o algarismo 2) para antes da vírgula.

2. Agora, multiplicamos novamente a expressão por um múltiplo de 10, desta vez tomando como referência a quantidade de algarismos que formam o período. No caso, são dois algarismos que formam o período (5 e 3), portanto, multiplicamos a expressão por 100 (a quantidade de zeros equivale à quantidade de algarismos do período):

$1000x=1253,535353....$$1000x=1253,535353....$

3. Se subtrairmos $10x\,$$10x\,$ de $1000x\,$$1000x\,$ temos:

${\begin{array}{rcl}1000x&=&1253,5353535353\ldots \\10x&=&12,53535353\ldots \\990x&=&1241\end{array}}$${\begin{array}{rcl}1000x&=&1253,5353535353\ldots \\10x&=&12,53535353\ldots \\990x&=&1241\end{array}}$

Assim, concluímos que $x={\frac {1241}{990}}=1,2535353...$$x={\frac {1241}{990}}=1,2535353...$

O raciocínio acima mostra como eliminar a dízima periódica de um número e transformá-lo em fração.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é composto pela parte inteira, o antiperíodo, juntamente do período representando-os como número inteiro e diminuido do antiperíodo e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do antiperíodo.

Ex.: Achar a geratriz de:

0,14275275275...

Antiperíodo=14: número de algarismos = 2 (00) Período = 275: número de algarismos = 3 (999)

Se fizermos ${\frac {14275-14}{99900}}\,$${\frac {14275-14}{99900}}\,$, dará ${\frac {14261}{99900}}\,$${\frac {14261}{99900}}\,$

,

Ver também

• 0,999...
• Sistema decimal
• Série geométrica
• Série (matemática)