Em matemática, o método das divisões permite a transformação de frações, equivalentes e não equivalentes a uma fração decimal, na forma de expansão decimal. Este método é um detalhamento do método de dividir o numerador pelo denominador para transformar a fração em número decimal. São usadas sucessivas divisões euclidianas para se determinar a parte inteira, os décimos, os centésimos, os milésimos, etc. do número racional que representa a fração[1].
Todo número racional
pode ter sua expansão decimal escrita da seguinte maneira [1]:
![{\displaystyle p=a_{n}\times 10^{n}+...+a_{1}\times 10+a_{0}+{\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+{\frac {b_{3}}{10^{3}}}...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b546c93c4f8b2d66480fe946e9b95745e25447ca)
Pode-se escrever
, de forma mais simplificada, da seguinte maneira:
,
onde
são algarismos de 0 a 9. Nota-se que as casas depois da vírgula (ou parte fracionária positiva) pode ser escrita como uma soma de frações decimais, as quais tem como numerador o número de sua respectiva casa decimal. Esse método pode ser utilizado tanto em uma fração ordinária que é equivalente a uma fração decimal quanto nas que não são equivalentes a uma fração decimal.
No caso específico de um racional
que está entre 0 e 1, para gerar a sua expressão decimal
são realizadas repetidas divisões euclidianas, onde cada
se refere a um quociente e
se refere a um resto de cada divisão euclidiana, observando-se que:
, com
;
, com
;
, com 0
;
e assim sucessivamente, continuando este processo até se chegar ao primeiro resto
nulo ou, caso a fração não seja equivalente a uma fração decimal, gerando-se uma expansão decimal infinita periódica:
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {q_{1}}{10}}+{\frac {q_{2}}{100}}+{\frac {q_{3}}{1000}}+...=0,q_{1}q_{2}q_{3}...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c05aaee675d4cf768baf847291aa35a98551ce)
Em outras palavras, o método se encerra quando houver a primeira repetição de resto, notando-se que, se
for igual a
, é gerada uma dízima periódica.
Caso das frações não equivalentes a uma fração decimal[editar | editar código-fonte]
Quando uma fração não é equivalente a uma fração decimal, a sua expansão decimal é, obrigatoriamente, uma expansão infinita periódica[2][nota 1]. Contudo, o método pode ser utilizado para descobrir a sua expansão decimal, pois existe, a partir de uma certa casa decimal, uma repetição de dígitos (um período de expansão), que é o primeiro e menor bloco de repetição que aparece e se repete sucessivamente no restante da expansão decimal.
Abaixo são apresentados alguns exemplos.
;
;
;
.
No caso do penúltimo exemplo, nota-se que, como
, então
.
Prosseguindo, determina-se a casa dos décimos
,
de modo que
![{\displaystyle {\frac {7}{4}}=1+{\frac {7}{10}}+{\frac {2}{40}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8279c8137b21c7184030e95482bda19b633644b0)
Da mesma forma para determinar a casa dos centésimos
![{\displaystyle {\frac {2}{40}}={\frac {1}{10}}\times {\frac {20}{40}}={\frac {1}{100}}\times {\frac {20}{4}}={\frac {1}{100}}\times {\frac {4\times 5+0}{4}}={\frac {1}{100}}\times (5+{\frac {0}{4}})={\frac {5}{100}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd14c903ea17a5d05ae67017737161a880d9a7d0)
e, portanto,
.
Nota-se que, a cada passo do método, busca-se escrever a fração decimal que representa a casa decimal. Agora, para o caso do último exemplo, ou seja, da fração
, como o numerador é menor que o denominador, segue que a parte inteira é
. Determina-se a casa dos décimos
,
e a casa dos centésimos
![{\displaystyle {\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}\times {\frac {10}{30}}={\frac {1}{100}}\times {\frac {10}{3}}={\frac {1}{100}}\times {\frac {3\times 3+1}{3}}={\frac {1}{100}}\times (3+{\frac {1}{3}})={\frac {3}{100}}+{\frac {1}{300}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363fb3bea5099dcda19b81aba262c323ec81b065)
Percebe-se que as divisões acima estão gerando repetição, de modo que é possível afirmar a fração leva a uma dízima periódica, ou seja, a sua expansão decimal é infinita e periódica. Assim:
.
A formalização[1] do método é feita considerando-se apenas a parte fracionária, sem se considerar a parte inteira. Para tal, consideram-se os racionais escritos como uma fração
, com
, sendo cada parte da expansão decimal realizada separadamente. Para a casa dos décimos, é realizada a primeira divisão euclidiana, entre
e
:
, onde
.
Assim, como
, segue que
. Como
, pode-se escrever
. Vale ressaltar que
, de modo que
. Por outro lado,
.
Logo, segue que em
cabem apenas
décimos e esse primeiro passo pode ser resumido como:
, onde
.
Se ocorrer
, segue que
e a aplicação do método está finalizada (ou seja,
é um número com um número apenas após a vírgula). Caso
, segue-se para a próxima casa, a dos centésimos. Supondo, então,
, é realizada uma segunda divisão euclidiana
, onde
.
Como
pode ser escrito como
, e como
, segue que
. Por outro lado,
dá
, e então segue que em
cabem apenas
centésimos.
Resumindo, se
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {q_{1}}{10}}+{\frac {q_{2}}{100}}{\frac {r_{2}}{100\times b}},0\leq {\frac {r_{2}}{100\times b}}<{\frac {1}{100}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72d37e67dbba51fdee5a83c910605db0f99a6b7)
e, no caso em que
, tem-se a expansão
. Mas se
, é preciso determinar a próxima casa decimal. Enquanto são encontrados restos não nulos, o processo é continuado. Ou seja, tendo sido determinado o dígito da
-ésima casa depois da vírgula, se
, segue-se para a determinação do dígito da
-ésima casa; para isso, é realizada uma nova divisão euclidiana, para ver qual o maior múltiplo de
que cabe em
.
Notas
- ↑ Essa afirmação é um teorema. Para sua demonstração, basta considerar a parte fracionária do número racional, o que é equivalente a considerar as frações
. Considerando que a expansão decimal não é finita, tem-se que os restos das divisões usando o método das divisões respeitarão a seguinte desigualdade:
que pode ser reescrita como
ou ![{\displaystyle 0<r_{1},r_{2},r_{3},...\leq q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d57e414d749da07577575567fc85d42a963801c)
Com isso, após serem realizadas
divisões, tem-se um resto
repetindo um valor de resto já obtido
, onde
. Assim, a fração pode ser reescrita na forma (onde cada
é o quociente adquirido pelo método das divisões):
,
onde as reticências indicam a repetição do padrão.
Referências
- ↑ a b c Ripoll, Cydara Cavedon (2011). Números Racionais, Reais e Complexos. Porto Alegre: UFRGS. ISBN 9788538601289
- ↑ Niven, Ivan (1990). Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM. ISBN 9788585818685