Função beta

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Em matemática, a função beta, também chamada de integral de Euler de primeiro tipo, é a função definida pela integral definida:

\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
\!

para números complexos x e y cuja parte real seja positiva.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A função beta é simétrica, o que significa que:

\Beta(x,y) = \Beta(y,x).
\![1]

Quando x e y são inteiros positivos, segue-se a partir da definição da função gama "\Gamma\ " que:


 \Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}
\!

Ela tem muitas outras formas, incluindo:


 \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\![1]

 \Beta(x,y) =
  2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,\mathrm{d}\theta,
  \qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0
\![2]

 \Beta(x,y) =
  \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t,
  \qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0
\![2]

 \Beta(x,y) =
  \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n},
\!

 \Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},
\!

A função Beta satisfaz várias identidades interessantes, incluindo


 \Beta(x,y) = \Beta(x, y+1) + \Beta(x+1, y)
\!

 \Beta(x+1,y) = \Beta(x, y) \cdot \dfrac{x}{x+y}
\!

 \Beta(x,y+1) = \Beta(x, y) \cdot \dfrac{y}{x+y}
\!

 \Beta(x,y)\cdot(t \mapsto t_+^{x+y-1}) = (t \to t_+^{x-1}) * (t \to t_+^{y-1}) \qquad x\ge 1, y\ge 1,
\!

 \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
  \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},
\!

onde t \mapsto t_+^x é um função de potência truncada e a estrela da denota convolução. A identidade mais baixa acima, demonstra em particular \Gamma(\tfrac12) = \sqrt \pi. Algumas destas identidades, por exemplo, a fórmula trigonométrica, pode ser aplicada para derivar o volume de uma bola-n[3] [4] [5] em coordenadas cartesianas. A integral de Euler para a função beta pode ser convertida em uma integral sobre o contorno de Pochhammer[6] [7] [8] C como:

\displaystyle (1-e^{2\pi i\alpha})(1-e^{2\pi i\beta})\Beta(\alpha,\beta) =\int_C t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} \, \mathrm{d}t.

Esta integral do contorno de Pochhammer converge para todos os valores de α e β e assim dá a continuação analítica da função beta. Assim como a função gama "\Gamma\ " para inteiros descreve fatoriais, a função beta pode definir um coeficiente binomial depois de ajustar os índices:

{n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}.

Além disso, para o inteiro n, \Beta\, pode ser fatorado para dar uma forma fechada, uma função de interpolação para valores contínuos de k:


{n \choose k} = (-1)^n n! \cfrac{\sin (\pi k)}{\pi \prod_{i=0}^n (k-i)}.


A função beta foi a primeira amplitude de dispersão conhecida na teoria das cordas, primeiramente conjecturado por Gabriele Veneziano. Ocorre também na teoria do processo de ligação preferencial[9] [10] , um tipo de processo de urna[11] estocástica.

Função beta incompleta[editar | editar código-fonte]

A função beta incompleta, é uma generalização da função beta, definida como

\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!

Para x = 1, a função beta incompleta coincide com a função beta completa. A relação existente entre estas duas funções é como a que existe entre a função gama e sua generalização, a função gama incompleta.

A função beta incompleta regularizada (ou função beta regularizada para abreviar) é definida em termos da função beta incompleta e da função beta completa:

 I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!

Bibliografia[editar | editar código-fonte]