Função beta

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Em matemática, a função beta, também chamada de integral de Euler de primeiro tipo, é a função definida pela integral definida:

para números complexos x e y cuja parte real seja positiva.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A função beta é simétrica, o que significa que:

[1]

Quando e são inteiros positivos, segue-se a partir da definição da função gama "" que:

Ela tem muitas outras formas, incluindo:

[1]
[2]
[2]

A função Beta satisfaz várias identidades interessantes, incluindo

onde é um função de potência truncada e a estrela da denota convolução. A identidade mais baixa acima, demonstra em particular . Algumas destas identidades, por exemplo, a fórmula trigonométrica, pode ser aplicada para derivar o volume de uma bola-n[3] [4] [5] em coordenadas cartesianas. A integral de Euler para a função beta pode ser convertida em uma integral sobre o contorno de Pochhammer[6] [7] [8] C como:

Esta integral do contorno de Pochhammer converge para todos os valores de α e β e assim dá a continuação analítica da função beta. Assim como a função gama "" para inteiros descreve fatoriais, a função beta pode definir um coeficiente binomial depois de ajustar os índices:

Além disso, para o inteiro n, pode ser fatorado para dar uma forma fechada, uma função de interpolação para valores contínuos de k:



A função beta foi a primeira amplitude de dispersão conhecida na teoria das cordas, primeiramente conjecturado por Gabriele Veneziano. Ocorre também na teoria do processo de ligação preferencial[9] [10] , um tipo de processo de urna[11] estocástica.

Função beta incompleta[editar | editar código-fonte]

A função beta incompleta, é uma generalização da função beta, definida como

Para x = 1, a função beta incompleta coincide com a função beta completa. A relação existente entre estas duas funções é como a que existe entre a função gama e sua generalização, a função gama incompleta.

A função beta incompleta regularizada (ou função beta regularizada para abreviar) é definida em termos da função beta incompleta e da função beta completa:

Bibliografia[editar | editar código-fonte]