Função beta

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Em matemática, a função beta, também chamada de integral de Euler de primeiro tipo, é a função definida pela integral definida:

para números complexos x e y cuja parte real seja positiva.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A função beta é simétrica, o que significa que:

[1]

Quando e são inteiros positivos, segue-se a partir da definição da função gama "" que:

Ela tem muitas outras formas, incluindo:

[1]
[2]
[2]

A função Beta satisfaz várias identidades interessantes, incluindo

onde é um função de potência truncada e a estrela da denota convolução. A identidade mais baixa acima, demonstra em particular . Algumas destas identidades, por exemplo, a fórmula trigonométrica, pode ser aplicada para derivar o volume de uma bola-n[3][4][5] em coordenadas cartesianas. A integral de Euler para a função beta pode ser convertida em uma integral sobre o contorno de Pochhammer[6][7][8] C como:

Esta integral do contorno de Pochhammer converge para todos os valores de α e β e assim dá a continuação analítica da função beta. Assim como a função gama "" para inteiros descreve fatoriais, a função beta pode definir um coeficiente binomial depois de ajustar os índices:

Além disso, para o inteiro n, pode ser fatorado para dar uma forma fechada, uma função de interpolação para valores contínuos de k:

A função beta foi a primeira amplitude de dispersão conhecida na teoria das cordas, primeiramente conjecturado por Gabriele Veneziano. Ocorre também na teoria do processo de ligação preferencial[9][10], um tipo de processo de urna[11] estocástica.

Função beta incompleta[editar | editar código-fonte]

A função beta incompleta, é uma generalização da função beta, definida como

Para x = 1, a função beta incompleta coincide com a função beta completa. A relação existente entre estas duas funções é como a que existe entre a função gama e sua generalização, a função gama incompleta.

A função beta incompleta regularizada (ou função beta regularizada para abreviar) é definida em termos da função beta incompleta e da função beta completa:

Referências

  1. a b Davis (1972) 6.2.2 p.258
  2. a b Davis (1972) 6.2.1 p.258
  3. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.
  4. Dirichlet, "Sur une nouvelle méthode pour la détermination des intégrales multiples", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 4 (1839), 164–168
  5. Wang, Xianfu, "Volumes of Generalized Unit Balls", Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 5 (Dezembro 2005), 390–395.
  6. Jordan, Camille (1887), Cours d'analyse, http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/jordan.pdf 
  7. Pochhammer, L. (1890), "Zur Theorie der Euler'schen Integrale", Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 35 (4): 495–526, doi:10.1007/BF02122658 
  8. Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963), A Course in Modern Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2 
  9. Yule, G. U. (1925). «Philosophical Transactions of the Royal Society B» (402–410) [S.l.: s.n.]: 21–87. doi:10.1098/rstb.1925.0002. 
  10. Fan Chung e Linyuan Lu (2010). «"A Generative Model — the Preferential Attachment Scheme"». Complex Graphs and Networks (3o [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-8218-3657-6. 
  11. Sampling with & without Replacement: Urn problem modeled with Geogebra por Gunhan Caglayan - "Vol. 6: Iss. 3, Article 3" (2013)

Bibliografia[editar | editar código-fonte]