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Évariste Galois

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Évariste Galois
Teoria de Galois
Nascimento25 de outubro de 1811
Bourg-la-Reine
Morte31 de maio de 1832 (20 anos)
Paris
SepultamentoCemitério do Montparnasse
NacionalidadeFrancês
CidadaniaFrança
Progenitores
  • Nicolas-Gabriel Galois
Alma materEscola Normal Superior de Paris
Ocupaçãomatemático
Distinções
  • Competição geral (1827)
Empregador(a)Escola Normal Superior de Paris, Garde nationale
Obras destacadasteoria de Galois
Ideologia políticarepublicanismo
Causa da morteperfuração por arma de fogo

Évariste Galois ([ɡælˈwɑː];[1] fr; 25 de outubro de 1811 – 31 de maio de 1832) foi um matemático francês e ativista político. Ainda na adolescência, ele conseguiu determinar uma condição necessária e suficiente para que um polinômio fosse solúvel por radicais, resolvendo assim um problema que estava em aberto há 350 anos. Seu trabalho estabeleceu as bases para a teoria de Galois e a teoria dos grupos,[2] dois ramos importantes da álgebra abstrata.

Galois era um republicano ferrenho e esteve profundamente envolvido na turbulência política que cercou a Revolução Francesa de 1830. Como resultado de seu ativismo político, foi preso repetidamente, cumprindo uma pena de prisão de vários meses. Por razões que permanecem obscuras, logo após sua libertação da prisão, Galois participou de um duelo e morreu em decorrência dos ferimentos sofridos.[3]

Vida

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Primeiros anos

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Galois nasceu em 25 de outubro de 1811, filho de Nicolas-Gabriel Galois e Adélaïde-Marie (nascida Demante).[2][4] Seu pai era um republicano e foi chefe do partido liberal de Bourg-la-Reine. Seu pai tornou-se prefeito da vila[2] depois que Luís XVIII retornou ao trono em 1814. Sua mãe, filha de um jurista, lia fluentemente latim e literatura clássica e foi responsável pela educação de seu filho durante seus primeiros doze anos.

O Cour d'honneur do Liceu Luís, o Grande, que Galois frequentou quando menino.

Em outubro de 1823, ele entrou no Liceu Luís, o Grande, onde seu professor Louis Paul Émile Richard reconheceu sua genialidade.[5] Aos 14 anos, ele começou a se interessar seriamente pela matemática.[5]

Galois encontrou uma cópia dos Éléments de Géométrie de Adrien-Marie Legendre, que, segundo consta, ele leu "como um romance" e dominou na primeira leitura. Aos 15 anos, lia os artigos originais de Joseph-Louis Lagrange, como as Réflexions sur la résolution algébrique des équations, que provavelmente motivaram seu trabalho posterior sobre a teoria das equações,[6] e Leçons sur le calcul des fonctions, trabalho destinado a matemáticos profissionais, mas seu trabalho escolar permaneceu sem inspiração e seus professores o acusaram de posar de gênio.[4]

Matemático em ascensão

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Em 1828, Galois tentou o exame de admissão para a École Polytechnique, a instituição mais prestigiada para matemática na França na época, sem a preparação usual em matemática, e foi reprovado por falta de explicações no exame oral. Nesse mesmo ano, ele entrou para a École Normale (então conhecida como l'École préparatoire), uma instituição muito inferior para os estudos matemáticos na época, onde encontrou alguns professores simpáticos a ele.[7]

Augustin-Louis Cauchy revisou os primeiros artigos matemáticos de Galois.

No ano seguinte, o primeiro artigo de Galois, sobre frações contínuas simples,[8] foi publicado. Foi por volta da mesma época que ele começou a fazer descobertas fundamentais na teoria das equações polinomiais. Ele submeteu dois artigos sobre este tema à Academia de Ciências. Augustin-Louis Cauchy foi o revisor desses artigos, mas se recusou a aceitá-los para publicação por razões que ainda permanecem obscuras. No entanto, apesar de muitas alegações em contrário, é amplamente aceito que Cauchy reconheceu a importância do trabalho de Galois e que ele apenas sugeriu combinar os dois artigos em um para concorrer ao Grande Prêmio de Matemática da academia. Cauchy, um matemático eminente da época, embora com visões políticas diametralmente opostas às de Galois, considerava o trabalho de Galois um provável vencedor.[9]

Em 28 de julho de 1829, o pai de Galois cometeu suicídio após uma amarga disputa política com o padre da vila.[10] Alguns dias depois, Galois fez sua segunda e última tentativa de entrar na Polytechnique e falhou novamente.[10] É indiscutível que Galois estava mais do que qualificado; os relatos divergem sobre o motivo de sua reprovação. Relatos mais plausíveis afirmam que Galois fez muitos saltos lógicos e confundiu o examinador incompetente, o que enfureceu Galois. A morte recente de seu pai também pode ter influenciado seu comportamento.[4]

Tendo sido negada sua admissão na École polytechnique, Galois fez os exames de Bacharelado para entrar na École normale.[10] Ele foi aprovado, recebendo seu diploma em 29 de dezembro de 1829.[10] Seu examinador de matemática relatou: "Este aluno às vezes é obscuro ao expressar suas ideias, mas é inteligente e mostra um espírito de pesquisa notável."

Galois submeteu sua memória sobre a teoria das equações várias vezes, mas ela nunca foi publicada em vida. Embora sua primeira tentativa tenha sido recusada por Cauchy, em fevereiro de 1830, seguindo a sugestão de Cauchy, ele a submeteu ao secretário da academia Joseph Fourier,[10] para ser considerada para o Grande Prêmio da academia. Infelizmente, Fourier morreu logo depois,[10] e a memória foi perdida.[10] O prêmio seria concedido naquele ano a Niels Henrik Abel postumamente e também a Carl Gustav Jacob Jacobi. Apesar da memória perdida, Galois publicou três artigos naquele ano. Um estabeleceu as bases para a teoria de Galois.[11] O segundo foi sobre a resolução numérica de equações (determinação de raízes na terminologia moderna).[12] O terceiro foi importante na teoria dos números, no qual o conceito de corpo finito foi articulado pela primeira vez.[13]

Agitador político

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Batalha pela Prefeitura por Jean-Victor Schnetz. Galois, como republicano ferrenho, teria desejado participar da Revolução de Julho de 1830, mas foi impedido pelo diretor da École Normale.

Galois viveu durante um período de turbulência política na França. Carlos X havia sucedido Luís XVIII em 1824, mas em 1827 sua facção sofreu uma grande derrota eleitoral e em 1830 o partido liberal da oposição tornou-se maioria. Carlos, diante da oposição política das câmaras, encenou um golpe de Estado e emitiu suas notórias Ordenanças de Julho, desencadeando a Revolução de Julho[10] que terminou com Luís Filipe I tornando-se rei. Enquanto seus colegas da Polytechnique faziam história nas ruas, Galois, na École Normale, foi trancado pelo diretor da escola. Galois ficou indignado e escreveu uma carta mordaz criticando o diretor, que ele submeteu à Gazette des Écoles, assinando a carta com seu nome completo. Embora o editor da Gazette tenha omitido a assinatura para publicação, Galois foi expulso.[14]

Embora sua expulsão fosse entrar em vigor oficialmente em 4 de janeiro de 1831, Galois saiu da escola imediatamente e juntou-se à unidade de artilharia ferrenhamente republicana da Guarda Nacional. Ele dividiu seu tempo entre seu trabalho matemático e suas afiliações políticas. Devido à controvérsia em torno da unidade, logo depois que Galois se tornou membro, em 31 de dezembro de 1830, a artilharia da Guarda Nacional foi dissolvida por medo de que pudesse desestabilizar o governo. Por volta da mesma época, dezenove oficiais da antiga unidade de Galois foram presos e acusados de conspirar para derrubar o governo.

Em abril de 1831, os oficiais foram absolvidos de todas as acusações e, em 9 de maio de 1831, um banquete foi realizado em sua homenagem, com a presença de muitas pessoas ilustres, como Alexandre Dumas. A celebração tornou-se tumultuada. Em dado momento, Galois levantou-se e propôs um brinde no qual disse: "A Luís Filipe", com uma adaga sobre seu copo. Os republicanos no banquete interpretaram o brinde de Galois como uma ameaça à vida do rei e aplaudiram. Ele foi preso no dia seguinte na casa de sua mãe e mantido detido na prisão de Sainte-Pélagie até 15 de junho de 1831, quando foi julgado.[9] O advogado de defesa de Galois alegou astutamente que Galois realmente disse: "A Luís Filipe, se ele trair", mas que a qualificação foi abafada pelos aplausos. O promotor fez mais algumas perguntas e, talvez influenciado pela juventude de Galois, o júri o absolveu no mesmo dia.[9][10][14][15]

No Dia da Bastilha seguinte (14 de julho de 1831), Galois estava à frente de um protesto, vestindo o uniforme da artilharia dissolvida, e veio fortemente armado com várias pistolas, um rifle carregado e uma adaga. Ele foi preso novamente.[10] Durante sua estada na prisão, Galois certa vez bebeu álcool pela primeira vez por instigação de seus colegas detentos. Um desses detentos, François-Vincent Raspail, registrou o que Galois disse enquanto estava bêbado em uma carta de 25 de julho. Excerto da carta:[9]

Citação:

Raspail continua que Galois, ainda em delírio, tentou o suicídio e que teria conseguido se seus companheiros de cela não o tivessem impedido à força.[9] Meses depois, quando o julgamento de Galois ocorreu em 23 de outubro, ele foi condenado a seis meses de prisão por usar uniforme ilegalmente. Enquanto estava na prisão, continuou a desenvolver suas ideias matemáticas. Foi libertado em 29 de abril de 1832.[10][16][17]

Últimos dias

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Siméon Denis Poisson revisou o artigo de Galois sobre a teoria das equações e o declarou "incompreensível".

Galois retornou à matemática após sua expulsão da École Normale, embora continuasse a passar tempo em atividades políticas. Depois que sua expulsão se tornou oficial em janeiro de 1831, ele tentou iniciar uma aula particular de álgebra avançada que atraiu algum interesse, mas este diminuiu, pois parecia que seu ativismo político tinha prioridade.[4][9] Siméon Denis Poisson pediu que ele submetesse seu trabalho sobre a teoria das equações, o que ele fez em 17 de janeiro de 1831. Por volta de 4 de julho de 1831, Poisson declarou o trabalho de Galois "incompreensível", declarando que "[O] argumento de [Galois] não é suficientemente claro nem suficientemente desenvolvido para nos permitir julgar seu rigor"; no entanto, o relatório de rejeição termina com uma nota encorajadora: "Sugeriríamos então que o autor publicasse a totalidade de seu trabalho para formar uma opinião definitiva."[18] Embora o relatório de Poisson tenha sido feito antes da prisão de Galois em 14 de julho, ele levou até outubro para chegar a Galois na prisão. Não é surpreendente, à luz de seu caráter e situação na época, que Galois tenha reagido violentamente à carta de rejeição e decidido abandonar a publicação de seus trabalhos por meio da academia e, em vez disso, publicá-los em particular por meio de seu amigo Auguste Chevalier. Aparentemente, no entanto, Galois não ignorou o conselho de Poisson, pois começou a coletar todos os seus manuscritos matemáticos ainda na prisão e continuou a aperfeiçoar suas ideias até sua libertação em 29 de abril de 1832,[14] após o qual foi de alguma forma persuadido a participar de um duelo.[10]

O duelo fatal de Galois ocorreu em 30 de maio.[19] Os verdadeiros motivos por trás do duelo são obscuros. Houve muita especulação sobre eles. O que se sabe é que, cinco dias antes de sua morte, ele escreveu uma carta a Chevalier que alude claramente a um caso de amor fracassado.[9]

Algumas investigações de arquivo sobre as cartas originais sugerem que a mulher de interesse romântico era Stéphanie-Félicie Poterin du Motel,[20] filha do médico da pensão onde Galois ficou durante os últimos meses de sua vida. Fragmentos de cartas dela, copiados pelo próprio Galois (com muitas partes, como seu nome, obliteradas ou deliberadamente omitidas), estão disponíveis.[21] As cartas sugerem que Poterin du Motel havia confiado alguns de seus problemas a Galois, e isso pode tê-lo levado a provocar o próprio duelo em nome dela. Esta conjectura também é apoiada por outras cartas que Galois escreveu mais tarde aos seus amigos na noite anterior à sua morte. O primo de Galois, Gabriel Demante, quando questionado se sabia a causa do duelo, mencionou que Galois "encontrou-se na presença de um suposto tio e de um suposto noivo, cada um dos quais provocou o duelo". O próprio Galois exclamou: "Sou vítima de uma coquette infame e seus dois dupes."[14]

Quanto ao seu oponente no duelo, Alexandre Dumas nomeia Pescheux d'Herbinville,[15] que era na verdade um dos dezenove oficiais de artilharia cuja absolvição foi celebrada no banquete que ocasionou a primeira prisão de Galois.[22] No entanto, Dumas é o único a fazer esta afirmação e, se estivesse correto, não está claro por que d'Herbinville estaria envolvido. Especulou-se que ele era o "suposto noivo" de Poterin du Motel na época (ela acabou se casando com outra pessoa), mas nenhuma evidência clara foi encontrada para apoiar esta conjectura. Por outro lado, recortes de jornais existentes de apenas alguns dias após o duelo dão uma descrição de seu oponente (identificado pelas iniciais "L.D.") que parecem se aplicar mais precisamente a um dos amigos republicanos de Galois, muito provavelmente Ernest Duchatelet, que foi preso com Galois pelas mesmas acusações. Dadas as informações conflitantes disponíveis, a verdadeira identidade de seu assassino pode muito bem estar perdida para a história.[23]

Quaisquer que fossem as razões por trás do duelo, Galois estava tão convencido de sua morte iminente que ficou acordado a noite toda escrevendo cartas para seus amigos republicanos e compondo o que se tornaria seu testamento matemático, a famosa carta a Auguste Chevalier delineando suas ideias, e três manuscritos anexos.[24] O matemático Hermann Weyl disse deste testamento: "Esta carta, se julgada pela novidade e profundidade das ideias que contém, é talvez o texto mais substancial de toda a literatura da humanidade." No entanto, a lenda de Galois derramando seus pensamentos matemáticos no papel na noite anterior à sua morte parece ter sido exagerada. Nestes papéis finais, ele delineou as arestas de algum trabalho que vinha fazendo em análise e anotou uma cópia do manuscrito submetido à academia e outros papéis.[9]

O memorial a Galois no cemitério de Bourg-la-Reine. Évariste Galois foi enterrado em uma vala comum e a localização exata é desconhecida.

No início da manhã de 30 de maio de 1832, ele foi baleado no abdômen,[19] foi abandonado por seus oponentes e seus próprios segundos e foi encontrado por um camponês que passava. Ele morreu na manhã seguinte[19] às dez horas no Hôpital Cochin (provavelmente de peritonite), após recusar os serviços de um padre. Seu funeral terminou em motins.[19] Havia planos para iniciar uma revolta durante seu funeral, mas ao mesmo tempo os líderes souberam da morte do General Jean Maximilien Lamarque e a revolta foi adiada sem que nenhuma revolta ocorresse até 5 de junho. Apenas o irmão mais novo de Galois foi notificado dos eventos anteriores à morte de Galois.[25] Galois tinha 20 anos. Suas últimas palavras para seu irmão mais novo Alfred foram:

Citação: "Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !"
(Não chore, Alfred! Preciso de toda a minha coragem para morrer aos vinte!)

Em 2 de junho, Évariste Galois foi enterrado em uma vala comum do Cemitério de Montparnasse, cuja localização exata é desconhecida.[19][17] No cemitério de sua cidade natal – Bourg-la-Reine – um cenotáfio em sua homenagem foi erguido ao lado dos túmulos de seus parentes.[26]

Em 1842, Joseph Liouville começou a estudar os artigos não publicados de Galois e reconheceu seu valor em 1843. Não está claro o que aconteceu nos dez anos entre 1832 e 1842, nem o que eventualmente inspirou Liouville a começar a ler os artigos de Galois. Jesper Lützen explora este assunto com algum detalhe no Capítulo XIV Galois Theory de seu livro sobre Joseph Liouville, sem chegar a conclusões definitivas.[27]

É certamente possível que os matemáticos (incluindo Liouville) não quisessem divulgar os artigos de Galois porque Galois era um ativista político republicano que morreu 5 dias antes da Rebelião de Junho, uma insurreição antimonarquista mal sucedida de republicanos parisienses. No obituário de Galois, seu amigo Auguste Chevalier quase acusou os acadêmicos da École Polytechnique de terem matado Galois, pois, se não tivessem rejeitado seu trabalho, ele teria se tornado um matemático e não teria se dedicado ao ativismo político republicano pelo qual alguns acreditavam que ele foi morto. Dado que a França ainda vivia à sombra do Reinado do Terror e da Era Napoleônica, Liouville pode ter esperado até que a turbulência política diminuísse (após a fracassada Rebelião de Junho e suas consequências) antes de voltar sua atenção para os artigos de Galois.[27]

Liouville finalmente publicou os manuscritos de Galois na edição de outubro–novembro de 1846 do Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. A contribuição mais famosa de Galois foi uma prova inovadora de que não existe fórmula quíntica – ou seja, que equações de quinto grau e superiores não são geralmente solúveis por radicais. Embora Niels Henrik Abel já tivesse provado a impossibilidade de uma "fórmula quíntica" por radicais em 1824 e Paolo Ruffini tivesse publicado uma solução em 1799 que se revelou falha, os métodos de Galois levaram a uma pesquisa mais profunda sobre o que hoje é chamado de Teoria de Galois, que pode ser usada para determinar, para qualquer equação polinomial, se ela tem uma solução por radicais.[28][29]

Contribuições para a matemática

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A página final do testamento matemático de Galois, em sua própria caligrafia. A frase "decifrar toda essa bagunça" ("déchiffrer tout ce gâchis") está na penúltima linha.

Das linhas finais de uma carta de Galois ao seu amigo Auguste Chevalier, datada de 29 de maio de 1832, dois dias antes da morte de Galois:[24]

Citação: Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Peça publicamente a Jacobi ou Gauss que dêem sua opinião, não sobre a verdade, mas sobre a importância destes teoremas. Depois disso, haverá, espero, algumas pessoas que acharão vantajoso decifrar toda essa bagunça.)

Nas cerca de 60 páginas das obras coletadas de Galois, existem muitas ideias importantes que tiveram consequências de longo alcance para quase todos os ramos da matemática. Seu trabalho foi comparado ao de Niels Henrik Abel (1802–1829), um matemático contemporâneo que também morreu muito jovem, e grande parte de seu trabalho teve uma sobreposição significativa.[30][31]

Álgebra

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Embora muitos matemáticos antes de Galois tenham considerado o que hoje é conhecido como grupos, ele foi o primeiro a usar a palavra grupo (em francês groupe) em um sentido próximo ao sentido técnico que é entendido hoje, tornando-o um dos fundadores do ramo da álgebra conhecido como teoria dos grupos. Ele chamou a decomposição de um grupo em suas classes laterais esquerda e direita de decomposição própria se as classes laterais esquerda e direita coincidem, o que leva à noção do que hoje são conhecidos como subgrupos normais.[24] Ele também introduziu o conceito de corpo finito (também conhecido como corpo de Galois em sua homenagem) essencialmente da mesma forma que é entendido hoje.[13]

Em sua última carta a Chevalier[24] e manuscritos anexos, o segundo de três, ele fez estudos básicos de grupos lineares sobre corpos finitos:

Teoria de Galois

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A contribuição mais significativa de Galois para a matemática é o desenvolvimento da teoria de Galois. Ele percebeu que a solução algébrica para uma equação polinomial está relacionada à estrutura de um grupo de permutações associado às raízes do polinômio, o grupo de Galois do polinômio. Ele descobriu que uma equação poderia ser resolvida por radicais se se pudesse encontrar uma série de subgrupos de seu grupo de Galois, cada um normal em seu sucessor com quociente abeliano, ou seja, seu grupo de Galois é solúvel. Isso provou ser uma abordagem fértil, que matemáticos posteriores adaptaram para muitos outros campos da matemática, além da teoria das equações à qual Galois a aplicou originalmente.[30]

Análise

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Galois também fez algumas contribuições para a teoria das integrais abelianas e frações contínuas.

Como escrito em sua última carta,[24] Galois passou do estudo das funções elípticas para a consideração das integrais dos diferenciais algébricos mais gerais, hoje chamadas de integrais abelianas. Ele classificou essas integrais em três categorias.

Frações contínuas

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Em seu primeiro artigo em 1828,[8] Galois provou que a fração contínua regular que representa uma raiz quadrada irracional ζ é puramente periódica se e somente se ζ é uma raiz irracional reduzida, ou seja, e seu conjugado satisfaz .

Na verdade, Galois mostrou mais do que isso. Ele também provou que se ζ é uma raiz quadrada irracional reduzida e η é seu conjugado, então as frações contínuas para ζ e para (−1/η) são ambas puramente periódicas, e o bloco repetido em uma dessas frações contínuas é a imagem espelhada do bloco repetido na outra. Em símbolos, temos

onde ζ é qualquer raiz quadrada irracional reduzida, e η é seu conjugado.

A partir desses dois teoremas de Galois, pode-se deduzir um resultado já conhecido por Lagrange. Se r > 1 é um número racional que não é um quadrado perfeito, então

Em particular, se n é qualquer inteiro positivo não quadrado, a expansão da fração contínua regular de √n contém um bloco repetido de comprimento m, no qual os primeiros m − 1 denominadores parciais formam uma string palindrômica.

Ver também

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Referências

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  1. ↑ "Galois theory". Random House Webster's Unabridged Dictionary.
  2. 1 2 3 Bruno, Leonard C. (c. 2003) [1999]. Baker, Lawrence W., ed. Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world. Detroit, Mich.: U X L. p. 171. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065
  3. ↑ Bruno, Leonard C. (2003) [1999]. Baker, Lawrence W., ed. Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world. Detroit, Mich.: U X L. pp. 171, 174. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065
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  7. ↑ Galois, Évariste (2011). Neumann, Peter M., ed. The Mathematical Writings of Évariste Galois. [S.l.]: European Mathematical Society. 2 páginas. ISBN 9783037191040
  8. 1 2 Galois, Évariste (1828). «Démonstration d'un théorème sur les fractions continues périodiques». Annales de Mathématiques. XIX: 294
  9. 1 2 3 4 5 6 7 8 Rothman, Tony (1982). «Genius and Biographers: The Fictionalization of Evariste Galois». The American Mathematical Monthly. 89 (2): 84–106. JSTOR 2320923. doi:10.2307/2320923. Consultado em 31 de janeiro de 2015
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  12. ↑ Galois, Évariste (1830). «Note sur la résolution des équations numériques». Bulletin des Sciences Mathématiques. XIII: 413
  13. 1 2 Galois, Évariste (1830). «Sur la théorie des nombres». Bulletin des Sciences Mathématiques. XIII: 428
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  31. ↑ See also: Sophus Lie, "Influence de Galois sur le développement des mathématiques" in: Évariste Galois, Oeuvres Mathématiques publiées en 1846 dans le Journal de Liouville (Sceaux, France: Éditions Jacques Gabay, 1989), appendix pages 1–9.
  32. ↑ Letter, p. 410
  33. ↑ Letter, p. 411
  34. ↑ Wilson, Robert A. (2009). «Chapter 1: Introduction». The finite simple groups. Col: Graduate Texts in Mathematics. 251. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012. doi:10.1007/978-1-84800-988-2
  35. ↑ Letter, pp. 411–412
  36. ↑ «Galois's last letter, translated» (PDF)

Leitura adicional

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Ligações externas

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