Função de transferência

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Função de transferência é a representação matemática da relação entre a entrada e a saída de um sistema.

A função de transferência é normalmente empregada na análise de circuitos eletrônicos analógicos de entrada única e saída única, por exemplo. É empregada principalmente em processamento de sinais, teoria da comunicação, teoria de controle e análise de circuitos. O termo é frequentemente utilizado para se referir exclusivamente a sistemas lineares invariantes no tempo. A maior parte dos sistemas reais possuem características de entrada/saída não-lineares, mas diversos sistemas, quando operados dentro de parâmetros nominais, têm um comportamento que é tão próximo de um comportamento linear que a teoria de sistemas lineares invariantes no tempo é uma representação aceitável do comportamento de sua entrada e saída.

Visão geral[editar | editar código-fonte]

Representação de um sistema genérico com uma entrada e uma saída.

Um sistema tem como função processar um conjunto de dados ou informação na entrada e o modificar gerando um novo conjunto de dados na saída. Exemplos clássicos de sistemas são circuitos elétricos e sistemas mecânicos massa-mola.

Considerando um sistema linear invariante no tempo e casual, a função de transferência relaciona os sinais de entrada com os de saídas através da transformada de Laplace.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função de transferência é definida como a razão entra a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada de um dado sistema quando as condições iniciais são nulas. Isto é:

H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{\mathcal{L}\{y(t)\}}{\mathcal{L}\{x(t)\}}

Onde, H(s) é a função de transferência, Y(s) a transformada de Laplace do sinal de saída e X(s) a transformada de Laplace do sinal de entrada.

A função de transferência pode ser interpretada como a resposta impulso, denotado por h(t), de um sistema linear invariante no tempo e inicialmente nulo:

H(s) = \mathcal{L} \left \{ h(t) \right \} = \int_{0}^\infty h(t) e^{-st}\,dt \,\!

Em um circuito elétrico, por exemplo, a função de transferência pode representar a relação entre a tensão de um sinal aplicado na entrada com a tensão de saída do circuito.

H(s)=\frac{Vo(s)}{Vi(s)} [1]

Exemplo I[editar | editar código-fonte]

Utilizando o método operacional de transformada de Laplace, pode-se encontrar a função de transferência para a tensão Eo, sobre o capacitor C1, no domínio de frequência para o circuito da figura abaixo:

Circuito elétrico no domínio do tempo.

Para encontrar a função de transferência para a tensão sobre o capacitor C2, primeiramente faz-se a transformação do circuito do domínio para o domínio de frequência, para isso, o capacitor (C no domínio tempo) vira 1/sC no domínio frequência, o indutor (L no domínio tempo) vira sL no domínio frequência, o resistor (R no domínio tempo) permanece R no domínio frequência, e as tensões no formato f(t) (no domínio tempo) viram F(s) no domínio frequência. O circuito completamente no domínio frequência é mostrado na figura abaixo:

Circuito elétrico no domínio frequência.

Como a tensão de saída, Eo(s) depende da variável de controle, V(s), primeiramente deve-se utilizar divisor de tensão para achar a função de transferência da variável de controle V na parte esquerda do circuito, encontrando-se a seguinte expressão para V(s):

V(s)={{ Ei(s) } /(s\cdot C)\over R + sL + 1/(s\cdot C) }

Para deixar o denominador na forma harmônica, faz-se a multiplicação por (s/L) no numerador e no denominador da expressão encontrada para V(s), deixando a expressão da seguinte forma:

V(s)={{ Ei(s) }/(L\cdot C)\over s^2 + R/L + 1/(L\cdot C) }

Como a função de transferência é definida como a razão entra a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada de um dado sistema, é definido H1(s) como sendo a razão da transformada de Laplace da saída parcial do circuito, V(s), e a transformada de laplace da entrada do circuito, Ei(s). Assim, a H(s) para a parte esquerda do circuito é definida como segue:

H(s) = {V(s) \over Ei(s)}={ 1/(L\cdot C)\over s^2 + R/L + 1/(L\cdot C) }

Agora, tendo a função de transferência para V(s), calcula-se Eo(s) na segunda parte do circuito, também via divisor de tensão. O cálculo de Eo(s) via divisor de tensão segue a seguir, notando a polaridade invertida de KV(s):

Eo(s)={{ -KV(s)  \cdot 1/(s\cdot C)}\over 1,25\cdot R + {1} /(s\cdot C)}

Para deixar o denominador na forma harmônica, faz-se a multiplicação por (s/L) no numerador e no denominador da expressão encontrada para Eo(s), deixando a mesma da seguinte forma:

Eo(s)={{ -KV(s) }\over 1,25\cdot s\cdot R\cdot C + 1}

Como já se sabe a expressão para V(s), a mesma é substituída na expressão de Eo(s), com o propósito de encontrar a função de transferência para a saída Eo(s) em função da entrada Ei(s). A expressão para a função de transferência para Eo(s) segue a seguir:

H(s) = {{Eo(s)} \over {Ei(s)}}   ={{ -K{{1}/(L\cdot C)\over s^2 + R/L + 1/(L\cdot C) } }\over 1,25\cdot s\cdot R\cdot C + 1}

Tendo a função de transferência montada para a saída Eo(s), para qualquer entrada Ei(s) colocada nesse circuito, tem-se a expressão para a saída Eo(s), desde que multiplique Ei(s) por o H(s) encontrado.

Sistema linear diferencial[editar | editar código-fonte]

Considerando um sistema linear diferencial de equação:

{d^ny \over dt^n}+a_1{d^{n-1}y \over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}{dy \over dt}+{a_n y(t)}=b_0{d^mx \over dt^m}+b_1{d^{m-1}x \over dt^{m-1}}+...+b_{m-1}{dx \over dt}+b_m x(t)

onde todos os coeficientes a_i e b_i são constantes e n \ge m. Denotando o operador diferencial D=\frac{d}{dt} e definindo os polinômios: Q(D)=D^n+a_1D^{n-1}+...+a_{n-1}D+a_n

P(D)=b_0D^m+b_1D^{m-1}+...+b_{m-1}D+b_m

Então, a equação do sistema pode ser denotada por: Q(D)y(t)=P(D)y(t)

Supondo que as condições iniciais são nulas, y(0^-)=...=y(0^{n-1})=x(0^-)=...=x(0^{m-1})=0

e usando a propriedade da derivada para aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da equação, temos:

(s^n+a_1s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_n)Y(s)=(b_0s^m+b_1s^{m-1}+...+b_{m-1}s+b_m)X(s)


Y(s)={b_0s^m+b_1s^{m-1}+...+b_{m-1}s+b_m \over s^n+a_1s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_n }X(s)={ P(s) \over Q(s) }X(S)

Logo, H(s)={ P(s) \over Q(s) }[2]

A fração racional entre os polinômios é denominada de função de transferência do sistema diferencial linear especificado anteriormente, que relaciona uma saída y(t) com a entrada x(t).

Integral de convolução[editar | editar código-fonte]

O sinal de saída de um sistema pode ser escrito como o produto da função transferência pelo sinal de entrada, isto é:

Y(s)=H(s)X(s)

Aplicando a transformada inversa de Laplace e o teorema da convolução:

\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)H(s)\}


y(t)=x(t)*h(t)


y(t)=\int_{0}^t x(\tau) h(t-\tau) d\tau[3]

Onde h(t) é a resposta impulso do sistema, e x(t) é uma função casual, ou seja, x(t)=0 para t<0.

A integral de convolução pode ser muito útil para a análises de sistemas em casos que o método da transformada é muito complicado.

Invariância no tempo[editar | editar código-fonte]

Para um sinal deslocado de a segundos, temos:

\mathcal{L}\{x(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}X(s)

Assim, a saída se torna:

Y(s)=H(s)X(s)e^{-as}

Se y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\} ,concluímos que:

y(t-a)u(t-a)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)e^{-as}\}[4]

Portanto, um deslocamento de a segundos no sinal de entrada do sistema resulta em um mesmo deslocamento de a segundos no sinal de saída. Por isso, o sistema é chamado de invariante no tempo.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Dorf, Richard C. (2012). Introdução aos Circuitos Elétricos (Rio de Janeiro: LTC). p. 648. ISBN 978-85-216-2116-4. 
  2. Lathi, B.P. (2007). Sinais e Sistemas Lineares (Porto Alegre: Bookman). p. 340. ISBN 85-60031-13-8. 
  3. Zill, Denis G. (2012). Equações Diferenciais com aplicação em modelagem (São Paulo: Cengage Learning). p. 295. ISBN 978-85-221-1059-9. 
  4. Nilsson, James W. (2003). Circuitos Elétricos (Rio de Janeiro: LTC). p. 434. ISBN 85-216-1363-6. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]