Função sinc

Em matemática, a função sinc, o termo "sinc" é uma contração do nome da função em latim sinus cardinalis (seno cardinal), denotada por $\operatorname {sinc} (x)$ e às vezes como $Sa(x)$, tem duas definições praticamente equivalentes. Na teoria de processamento digital de sinais e informações, a função sinc normalizada é comumente definida por:

$\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.\,\!$

Ela é dita normalizada porque a sua integral sobre todos os $x$ é $1$. A transformada de Fourier da função sinc normalizada é a função retangular sem escala. Esta função é fundamental no conceito de reconstrução de sinais originais contínuos limitados em banda, a partir de amostras uniformemente espaçadas desse sinal.

Em matemática, a função sinc não-normalizada historicamente é definida por

$\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}.\,\!$

A única diferença entre as duas definições está na escala da variável independente (o eixo x) por um fator de π. Em ambos os casos, o valor da função na singularidade removível em zero é entendido como o valor limite $1$. A função sinc é analítica em toda parte.

Propriedades

A função sinc normalizada (em azul) e a função sinc não-normalizada (em vermelho), mostradas na mesma escala de $x=-6\pi ~a~6\pi$.

Os zeros do sinc não normalizado são múltiplos não nulos de $\pi$; já os zeros do sinc normalizado são inteiros não nulos.

Os máximos e mínimos locais do sinc não-normalizado correspondem à sua intersecção com a função cosseno. Ou seja, ${\frac {\operatorname {sen}(\xi )}{\xi }}=\cos(\xi )$ para todos os $\xi$ onde a derivada de ${\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}$ é nula (e, portanto, um extremo local é atingido).

A função sinc normalizada tem uma representação simples como o produtório infinito

${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)\,\!$

e está relacionada à função gama $\Gamma (x)$ pela fórmula de reflexão de Euler:

${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.\,\!$

Euler descobriu que

${\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).$

A transformada de Fourier contínua do sinc normalizado (à frequência comum) é rect($f$),

$\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),\,\!$

onde a função retangular é $1$ para argumentos entre $-{\tfrac {1}{2}}~e~{\tfrac {1}{2}}$, e zero no caso contrário. Isto corresponde ao fato de que o filtro sinc é o filtro passa-baixa ideal ("parede de tijolos", ou seja, resposta em freqüência retangular). Esta integral de Fourier, incluindo o caso especial

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1\,\!$

é uma integral imprópria e não uma integral de Lebesgue convergente como

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .$

A função sinc normalizada tem propriedades que a tornam ideal em relação à interpolação de amostras de funções limitadas em banda:

• É uma função de interpolação, ou seja, $\operatorname {sinc} (0)=1$, e $\operatorname {sinc} (k)=0$ para $k$ inteiros e não-nulos.
• As funções $x_{k}(t)=\operatorname {sinc} (t-k)$ formam uma base ortonormal para as funções limitadas em banda no espaço de funções $L^{2}(R)$, cuja maior frequência angular é $\omega _{H}=\pi$ (isto é, o ciclo de frequência mais alto é $f_{H}={\tfrac {1}{2}}$).

Outras propriedades das duas funções sinc são:

• O sinc não normalizado é a zerogésima ordem da função de Bessel esférica de primeiro tipo, $j_{0}(x)$. O sinc normalizado é $j_{0}(\pi x)$ .

• $\int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x)\,\!$

onde $Si(x)$ é o seno integral.

• $\lambda \cdot \operatorname {sinc} (\lambda x)$ (não normalizado) é uma das duas soluções linearmente independentes da EDO linear

$x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.\,\!$

A outra solução é ${\frac {\cos(\lambda x)}{x}}$, que diverge em $x=0$, ao contrário da função sinc.

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1.$

onde o sinc normalizado é significativo.

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}\,\!$

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}\,\!$

Ver também

• Integral de Borwein
• Integral de Dirichlet
• Função de Dirichlet
• Aliasing
• Filtro sinc
• Reamostragem de Lanczos
• Interpolação de Whittaker–Shannon
• Função suave
• Processamento de sinal
• Constante de normalização
• Integral
• Função retangular
• Variáveis dependentes e independentes
• Sistema de coordenadas cartesiano
• Singularidade removível
• Função analítica
• Função gama
• Filtro passa-baixo
• Integral imprópria
• Integral de Lebesgue
• Interpolação
• Amostragem de sinal
• Base ortonormal
• Espaço Lp
• Função de Bessel
• Equação diferencial ordinária
• Delta de Dirac
• Função indicadora

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Sinc function», especificamente desta versão.

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Sinc Function» (em inglês). MathWorld