Assinatura (lógica)

Na lógica matemática, uma assinatura é a parte não lógica de uma linguagem formal: ela especifica os símbolos próprios da linguagem e as informações sintáticas necessárias para usá-los, como a aridade dos símbolos de relação e de função. Em teoria dos modelos, a assinatura funciona como o vocabulário comum no qual são formuladas estruturas, termos, fórmulas, sentenças e teorias.

O conteúdo exato de uma assinatura depende da convenção adotada. Em uma apresentação comum da lógica de primeira ordem, uma assinatura reúne símbolos de relação, símbolos de função e, às vezes, símbolos constantes; cada um desses símbolos recebe uma aridade apropriada. Em outras convenções, as constantes são tratadas como símbolos de função de aridade zero.

Definição

Uma assinatura $\sigma$ pode ser descrita como um conjunto de símbolos não lógicos acompanhado de uma função de aridade. Uma formulação frequente separa esses símbolos em três classes:

• um conjunto $R$ de símbolos de relação ou predicado;
• um conjunto $F$ de símbolos de função;
• um conjunto $C$ de símbolos constantes.

A função de aridade associa a cada símbolo de relação ou de função um número natural que indica quantos argumentos o símbolo exige. Assim, um símbolo de relação binária $R$ pode ocorrer em expressões da forma $R(t_{1},t_{2})$, enquanto um símbolo de função binária $f$ pode formar termos da forma $f(t_{1},t_{2})$. Uma constante pode ser entendida como um termo sem argumentos, ou, em outra convenção, como uma função de aridade zero.

Quando uma assinatura é combinada com os símbolos lógicos usuais, variáveis e regras de formação, obtém-se uma linguagem formal. Os símbolos de função e constantes são usados para formar termos; os símbolos de relação, por sua vez, são aplicados a termos para formar fórmulas atômicas. Fórmulas mais complexas são então construídas com conectivos lógicos e quantificadores.

Assinaturas e estruturas

Na teoria dos modelos, uma estrutura para uma assinatura $\sigma$, também chamada de $\sigma$-estrutura, interpreta cada símbolo da assinatura sobre um universo de discurso. Se $A$ é uma estrutura, então:

• cada símbolo de relação $n$-ário $R$ é interpretado como uma relação $R^{A}\subseteq A^{n}$;
• cada símbolo de função $n$-ário $f$ é interpretado como uma função $f^{A}:A^{n}\to A$;
• cada constante $c$ é interpretada como um elemento $c^{A}$ do universo da estrutura.

A assinatura, portanto, não determina sozinha uma estrutura matemática concreta. Ela fixa apenas o vocabulário formal e as aridades dos símbolos; a interpretação desses símbolos depende da estrutura considerada.

Exemplos

A assinatura de um grupo pode ser dada por $\langle \cdot ,{}^{-1},e\rangle$, em que $\cdot$ é uma operação binária, ${}^{-1}$ é uma operação unária e $e$ é uma constante. Em notação aditiva, usada com frequência para grupos abelianos, a mesma ideia pode ser representada por $\langle +,-,0\rangle$, com aridades $2$, $1$ e $0$, respectivamente.

A assinatura de uma ordem parcial pode conter apenas um símbolo de relação binária, usualmente escrito como $\leq$. Nesse caso, a assinatura não precisa conter símbolos de função ou constantes.

A assinatura usual de um anel pode incluir os símbolos de função binária $+$ e $\cdot$, o símbolo de função unária $-$ e as constantes $0$ e $1$, embora a presença de $1$ dependa da convenção adotada para anéis com ou sem identidade.

Convenções terminológicas

Em lógica e teoria dos modelos, os termos assinatura, vocabulário e, em alguns contextos, linguagem podem aparecer com sentidos próximos, mas nem sempre idênticos. Em geral, assinatura designa especificamente a coleção de símbolos não lógicos com suas aridades, enquanto linguagem pode incluir também os símbolos lógicos, variáveis e regras de formação.

Em álgebra universal, a noção correspondente é frequentemente chamada de tipo ou tipo de similaridade. Nesse contexto, a assinatura costuma conter apenas símbolos de operações e suas aridades, pois a álgebra universal tradicional trabalha principalmente com operações, e não com símbolos de relação.

A igualdade é normalmente tratada como símbolo lógico, e não como parte da assinatura, embora existam sistemas formais que adotem convenções diferentes.

Lógica polissortida

Na lógica polissortida, também chamada de lógica de múltiplos tipos, uma assinatura deve registrar não apenas a aridade dos símbolos, mas também os tipos, ou sortes, dos argumentos e dos valores associados a cada símbolo. Por exemplo, um símbolo de função pode ser especificado como tendo tipo $s_{1}\times \cdots \times s_{n}\to s$, indicando que recebe argumentos das sortes $s_{1},\ldots ,s_{n}$ e retorna um valor da sorte $s$.

Essa abordagem permite distinguir, no nível sintático, diferentes domínios de objetos dentro de uma mesma linguagem formal. O desenvolvimento sistemático da lógica polissortida remonta a trabalhos sobre teorias de múltiplos tipos, entre eles o artigo de Hao Wang publicado em 1952 no Journal of Symbolic Logic.

Ver também

• Fórmula bem formada
• Linguagem de primeira ordem
• Lógica de primeira ordem
• Símbolo não-lógico
• Teoria dos modelos
• Álgebra universal

Bibliografia

• Chang, C. C.; Keisler, H. Jerome (2012). Model Theory (em inglês) 3 ed. Mineola: Dover Publications. ISBN 978-0-486-48821-9 
• Enderton, Herbert B. (2001). A Mathematical Introduction to Logic (em inglês) 2 ed. San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-238452-3 
• Hodges, Wilfrid (1997). A Shorter Model Theory (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58713-6 
• Marker, David (2002). Model Theory: An Introduction (em inglês). New York: Springer. ISBN 978-0-387-98760-6