Carta de Smith

(a) Exemplo de carta de Smith apresentando círculos de $\operatorname {Re} (z)$ constante em vermelho e arcos de $\operatorname {Im} (z)$ constante em azul.

(b) Animação ilustrando a transformação conforme do plano $z$, onde as linhas de resistência e reatância constantes são retas, para o plano $\Gamma$, onde se transformam em círculos e arcos. Linhas em rosa denotam $\operatorname {Re} (z)<0$ e linhas em preto denotam $\operatorname {Re} (z)\geq 0$.

A carta de Smith (também conhecida como diagrama de Smith, carta de Volpert–Smith ou carta de Mizuhashi) é um nomograma circular amplamente utilizado na engenharia de radiofrequência (RF) para solucionar problemas em linhas de transmissão e circuitos de casamento de impedância. A ferramenta mapeia o coeficiente de reflexão complexo ($\Gamma$) sobre uma malha ortogonal de impedâncias elétricas normalizadas ($z$).

Como a impedância normalizada é uma grandeza complexa, a carta projeta duas famílias fundamentais de curvas: círculos de resistência constante ($\operatorname {Re} (z)$) e arcos de reatância constante ($\operatorname {Im} (z)$). As cartas convencionais cobrem circuitos passivos nos quais a resistência é não negativa ($\operatorname {Re} (z)\geq 0$). Regiões externas ao círculo unitário ($\operatorname {Re} (z)<0$) correspondem a resistências negativas, conceito aplicado no projeto de osciladores e na análise de estabilidade de amplificadores.

A representação gráfica permite a avaliação simultânea de múltiplos parâmetros de RF, tais como admitância, parâmetros de espalhamento ($S_{nn}$), figuras de ruído e regiões de estabilidade operacional.

Embora o traçado manual em papel tenha sido substituído por ferramentas computacionais dedicadas, o formato da carta de Smith permanece como padrão na interface gráfica de softwares de simulação eletromagnética e analisadores de redes vetoriais (VNA) para a visualização das variações de impedância em função da frequência.

História

A carta de Smith surgiu no final da década de 1930 a partir de trabalhos independentes conduzidos por Tōsaku Mizuhashi, Amiel R. Volpert e Phillip H. Smith. Antes da consolidação internacional do nome de Smith por volta de 1950, o diagrama era identificado por diferentes designações em publicações acadêmicas.

Tōsaku Mizuhashi (水橋東作) propôs a estrutura gráfica em 1937 no Japão, enquanto Amiel R. Volpert (em russo: Амиэ́ль Р. Во́льперт) na União Soviética e Phillip H. Smith nos Estados Unidos propuseram modelos equivalentes de forma autônoma em 1939.

Smith desenvolveu inicialmente diagramas retangulares antes de adotar um sistema de coordenadas polares em 1936. Com a colaboração de seus colegas Enoch B. Ferrell e James W. McRae nos Laboratórios Bell, familiarizados com mapeamentos conformes, a representação foi aperfeiçoada para sua geometria definitiva no início de 1937 e publicada formalmente em janeiro de 1939.

Smith denominou a ferramenta originalmente de "calculadora de linhas de transmissão" (transmission line chart). Na literatura inicial, surgiram termos como "diagrama de reflexão", "diagrama circular de impedância" e "carta de imitância". Durante a década de 1940, pesquisadores do Laboratório de Radiação do MIT popularizaram a denominação Smith chart, que se tornou o termo padrão no Ocidente a partir de 1950.

Visão geral

A carta de Smith mapeia a impedância elétrica normalizada no coeficiente de reflexão complexo por meio de uma transformação de Möbius. Impedâncias com parte real positiva (cargas passivas) situam-se no interior do círculo unitário, enquanto valores com parte real negativa situam-se no exterior da fronteira circular.

Um analisador de redes vetorial exibindo dados de medição na tela em formato de carta de Smith.

Para uma carta de impedância (carta Z), a relação matemática fundamental é expressa por:

$$\Gamma ={\frac {Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}}}={\frac {z-1}{z+1}},$$

onde $z=Z/Z_{0}$ representa a impedância complexa $Z$ normalizada pela impedância de referência do sistema $Z_{0}$.

As cartas podem exibir impedância normalizada (carta Z), admitância normalizada (carta Y) ou a combinação de ambas (carta ZY). Nas cartas mistas ZY, cores distintas identificam as respectivas malhas ortogonais.

A borda periférica externa contém escalas graduadas em comprimentos de onda ($\lambda$) e graus angulares ($^{\circ }$). A escala em comprimentos de onda quantifica deslocamentos físicos ao longo da linha de transmissão em circuitos de elementos distribuídos, enquanto a escala angular expressa o ângulo de fase do coeficiente de reflexão.

Por operar com valores normalizados, a carta de Smith aplica-se a qualquer impedância característica de referência. O ponto central representa a impedância de casamento ($z=1$, tipicamente 50 Ω). Para obter os valores absolutos de impedância ou admitância, multiplica-se a leitura da carta por $Z_{0}$ ou $Y_{0}$. O coeficiente de reflexão é adimensional e lido diretamente nas coordenadas polares do gráfico.

Em análises de circuitos com elementos concentrados ou distribuídos, traça-se um único ponto para frequências pontuais em aplicações de faixa estreita (tipicamente 5–10% de largura de banda). Em análises de faixa larga, a união de múltiplos pontos em diferentes frequências gera um lugar geométrico contínuo, evidenciando o comportamento indutivo ou capacitivo do circuito e o grau de descasamento ao longo do espectro operacional.

Base matemática

Uso básico da carta de Smith de impedância. Uma onda propaga-se por uma linha com impedância característica $Z_{0}$ em direção à carga $Z_{L}$ (normalizada como $z=Z_{L}/Z_{0}$). A onda refletida possui coeficiente de reflexão $\Gamma$, relacionado à impedância normalizada por $z=(1+\Gamma )/(1-\Gamma )$.

Normalização

Dada uma linha de transmissão com impedância característica $Z_{0}$ e admitância característica $Y_{0}=1/Z_{0}$, qualquer impedância de carga $Z$ ou admitância $Y$ é normalizada pela divisão pelo respectivo valor de referência:

$$z={\frac {Z}{Z_{0}}},\quad y={\frac {Y}{Y_{0}}}={\frac {1}{z}}.$$

Como a impedância é expressa em ohms (Ω) e a admitância em siemens (S), a normalização cancela as unidades físicas, resultando em quantidades adimensionais compatíveis com o traçado na carta de Smith.

Coeficiente de reflexão e propagação em linha

Linhas de transmissão terminadas em circuito aberto (acima) e em curto-circuito (abaixo). O pulso é totalmente refletido em ambas as condições, porém com polaridades de tensão opostas.

Quando uma linha de transmissão é terminada por uma impedância de carga $Z_{L}$ distinta de sua impedância característica $Z_{0}$, a superposição da onda incidente (direta) $V_{\text{F}}$ e da onda refletida $V_{\text{R}}$ estabelece uma onda estacionária.

Na notação fasorial complexa, medindo-se a distância $\ell$ a partir da carga ($\ell =0$) em direção ao gerador:

$${\begin{aligned}V_{\text{F}}(\ell )&=Ae^{+\gamma \ell },\\V_{\text{R}}(\ell )&=Be^{-\gamma \ell },\end{aligned}}$$

onde $A$ e $B$ representam as amplitudes complexas de tensão na terminação. A dependência temporal $e^{j\omega t}$ é omitida em regime permanente senoidal.

A constante de propagação complexa é definida como:

$$\gamma =\alpha +j\beta ,$$

onde $\alpha$ é a constante de atenuação (em nepers por metro) e $\beta$ é a constante de fase (em radianos por metro).

Variação ao longo da linha

À medida que o comprimento $\ell$ de uma linha sem perdas aumenta, a impedância de entrada descreve um círculo de razão de onda estacionária (ROE) constante na carta de Smith.

O coeficiente de reflexão de tensão complexo $\Gamma$ é definido como a razão entre a onda refletida e a onda incidente:

$$\Gamma ={\frac {V_{\text{R}}}{V_{\text{F}}}}={\frac {Be^{-\gamma \ell }}{Ae^{+\gamma \ell }}}=Ce^{-2\gamma \ell },$$

onde $C$ é uma constante de integração.

Em linhas com perdas ($\alpha >0$), o coeficiente $\Gamma$ traça uma espiral convergente em direção ao centro da carta conforme $\ell$ cresce. Em linhas de transmissão ideais sem perdas ($\alpha =0$), a equação simplifica-se para:

$$\Gamma =\Gamma _{\text{L}}e^{-2j\beta \ell }=\Gamma _{\text{L}}\exp \left(-j{\frac {4\pi \ell }{\lambda }}\right),$$

onde $\Gamma _{\text{L}}$ é o coeficiente de reflexão na carga e $\lambda =2\pi /\beta$ é o comprimento de onda guiado na linha.

Como a rotação de fase completa $2\pi$ radianos ocorre para uma variação de distância $\ell =\lambda /2$, os valores de coeficiente de reflexão e impedância repetem-se a cada meio comprimento de onda. A escala externa da carta de Smith é graduada de $0$ a $0.5\,\lambda$.

Equação da impedância de entrada

Sendo $V$ e $I$ a tensão e a corrente totais na terminação da linha:

$${\begin{aligned}V_{\text{F}}+V_{\text{R}}&=V,\\V_{\text{F}}-V_{\text{R}}&=Z_{0}I.\end{aligned}}$$

A divisão dessas expressões estabelece a relação biunívoca entre a impedância de carga normalizada $z$ e o coeficiente de reflexão $\Gamma$:

$$z={\frac {1+\Gamma }{1-\Gamma }}\quad \iff \quad \Gamma ={\frac {z-1}{z+1}}.$$

Como $\Gamma$ e $z$ são grandezas adimensionais complexas, os valores são traçados no plano polar. Cargas puramente passivas satisfazem $|\Gamma |\leq 1$, ocupando o interior do círculo unitário.

A substituição de $\Gamma (\ell )=\Gamma _{\text{L}}e^{-2j\beta \ell }$ na equação da impedância resulta na clássica equação de impedância de entrada de uma linha de transmissão:

$$Z_{\text{in}}=Z_{0}{\frac {Z_{\text{L}}+jZ_{0}\tan(\beta \ell )}{Z_{0}+jZ_{\text{L}}\tan(\beta \ell )}}.$$

Na carta de Smith, essa transformação equivale a descrever uma trajetória circular centrada na origem que passa por $z$, deslocando-se no sentido horário ("em direção ao gerador") pela leitura da escala perimétrica de comprimentos de onda.

Geometria da carta Z

Regiões da carta

Os ângulos polares são medidos no sentido anti-horário a partir do semi-eixo real horizontal positivo. O eixo horizontal central representa impedâncias puramente resistivas ($x=0$), estendendo-se do curto-circuito ($z=0$, à esquerda) até o circuito aberto ($z\to \infty$, à direita), passando pelo centro de casamento ($z=1$). O semiplano superior corresponde a impedâncias indutivas ($\operatorname {Im} (z)>0$), enquanto o semiplano inferior abrange impedâncias capacitivas ($\operatorname {Im} (z)<0$).

O perímetro externo delimitado por $|\Gamma |=1$ contém reatâncias puras ($r=0$).

Círculos de resistência e arcos de reatância constantes

Decompondo a impedância normalizada em suas componentes real e imaginária como $z=r+jx$:

$$\Gamma ={\frac {r^{2}+x^{2}-1}{(1+r)^{2}+x^{2}}}+j{\frac {2x}{(1+r)^{2}+x^{2}}}.$$

Ao isolar os parâmetros $r$ e $x$ no plano complexo $\Gamma =u+jv$, obtêm-se as equações canônicas de duas famílias ortogonais de círculos:

• Círculos de resistência constante: centrados em $\left({\frac {r}{r+1}},0\right)$ com raio ${\frac {1}{r+1}}$.
• Arcos de reatância constante: centrados em $\left(1,{\frac {1}{x}}\right)$ com raio ${\frac {1}{|x|}}$.

Conversão entre impedância e admitância

No projeto de redes de casamento de impedância, é frequente a alternância entre componentes em série (analisados mais facilmente em termos de impedância $Z$) e componentes em paralelo (analisados em termos de admitância $Y$).

A conversão gráfica de um ponto de impedância normalizada $z$ para sua respectiva admitância normalizada $y=1/z$ corresponde a uma rotação de 180° em torno da origem sobre o mesmo raio de módulo de reflexão. Por exemplo, o ponto de impedância ${\text{P}}_{1}$ ($z=0{,}80+j1{,}40$) projeta-se no ponto diametralmente oposto ${\text{Q}}_{1}$ ($y=0{,}30-j0{,}54$).

Pontos equivalentes de impedância e admitância normalizadas

Impedância normalizada ($z$)	Admitância normalizada ($y=1/z$)
${\text{P}}_{1}=0{,}80+j1{,}40$	${\text{Q}}_{1}=0{,}30-j0{,}54$
${\text{P}}_{10}=0{,}10+j0{,}22$	${\text{Q}}_{10}=1{,}80-j3{,}90$

Pontos de coeficiente de reflexão em uma carta Z e seus equivalentes rotacionados em 180° em uma carta Y.

Elementos de circuito e topologia

Componentes conectados em série somam-se diretamente em impedância ($Z_{\text{série}}=Z_{1}+Z_{2}+\dots$), enquanto elementos em paralelo somam-se em admitância ($Y_{\text{paralelo}}=Y_{1}+Y_{2}+\dots$).

As expressões para os componentes passivos fundamentais normalizados são:

$${\begin{aligned}{\text{Resistor:}}&\quad z={\frac {R}{Z_{0}}},&\quad y={\frac {G}{Y_{0}}}={\frac {Z_{0}}{R}}\\[0.5em]{\text{Indutor:}}&\quad z=j{\frac {\omega L}{Z_{0}}},&\quad y=-j{\frac {1}{\omega LY_{0}}}\\[0.5em]{\text{Capacitor:}}&\quad z=-j{\frac {1}{\omega CZ_{0}}},&\quad y=j{\frac {\omega C}{Y_{0}}}\end{aligned}}$$

onde $Z_{0}=1/Y_{0}$ é a impedância característica de referência.

Exemplos de plotagem

Exemplos de pontos plotados em uma carta de Smith de impedância normalizada.

Um coeficiente de reflexão expresso na forma polar como $0{,}63\angle 60^{\circ }$ é mapeado no ponto ${\text{P}}_{1}$: na coordenada angular de 60° na escala perimétrica externa e a uma distância radial de 0,63 do centro geométrico.

Exemplos de pontos plotados na carta de Smith de impedância normalizada

Ponto	Coeficiente de reflexão (polar)	Impedância normalizada (retangular)
${\text{P}}_{1}$ (indutivo)	$0{,}63\angle 60^{\circ }$	$0{,}80+j1{,}40$
${\text{P}}_{2}$ (indutivo)	$0{,}73\angle 125^{\circ }$	$0{,}20+j0{,}50$
${\text{P}}_{3}$ (capacitivo)	$0{,}44\angle -116^{\circ }$	$0{,}50-j0{,}50$

Aplicações

A carta de Smith é empregada tanto na análise de circuitos de dimensões comparáveis a frações apreciáveis do comprimento de onda (componentes distribuídos) quanto em circuitos eletricamente pequenos (elementos concentrados). O limite prático situa-se em torno de 5% do comprimento de onda da frequência de trabalho: acima desse patamar, os efeitos de propagação e defasagem exigem o emprego de formulações distribuídas.

Casamento com componentes distribuídos

Em sistemas de componentes distribuídos, o deslocamento físico ao longo da linha de transmissão altera a fase do coeficiente de reflexão e a impedância de entrada, efeito quantificado diretamente na escala perimétrica externa da carta.

O exemplo a seguir ilustra o casamento de impedância de uma terminação arbitrária em uma frequência única, utilizando um elemento reativo posicionado a uma distância precisa da carga.

Construção gráfica na carta de Smith para casamento de impedância em linha de transmissão.

Considere uma linha de transmissão com dielétrico de ar, sem perdas, com impedância característica $Z_{0}=50\,\Omega$, operando a 800 MHz, terminada por uma carga composta por um resistor de 17,5 Ω em série com um indutor de 6,5 nH. A reatância indutiva a 800 MHz é dada por:

$$j\omega L=j2\pi fL=j32{,}7\,\Omega ,$$

resultando em uma impedância total de carga:

$$Z_{\text{T}}=17{,}5+j32{,}7\,\Omega ,$$

e em uma impedância normalizada de:

$$z_{\text{T}}={\frac {Z_{\text{T}}}{Z_{0}}}=0{,}35+j0{,}65.$$

Esse ponto é plotado na carta Z como ${\text{P}}_{20}$. Traçando-se uma reta a partir do centro ${\text{O}}$ passando por ${\text{P}}_{20}$ até a escala perimétrica externa de comprimentos de onda, obtém-se a leitura $L_{1}=0{,}098\lambda$. Como a linha não possui perdas, o módulo do coeficiente de reflexão permanece constante, descrevendo um círculo centrado na origem que intercepta o círculo de resistência unitária ($r=1$) no ponto ${\text{P}}_{21}$:

$$z_{{\text{P}}_{21}}=1{,}00+j1{,}52.$$

A projeção radial da reta ${\text{OP}}_{21}$ na escala perimétrica fornece a posição $L_{2}=0{,}177\lambda$. A distância física da carga até o ponto de inserção do elemento compensador é dada por:

$$L_{2}-L_{1}=0{,}177\lambda -0{,}098\lambda =0{,}079\lambda .$$

Em uma linha com dielétrico de ar, o comprimento de onda a 800 MHz equivale ao do espaço livre:

$$\lambda ={\frac {c}{f}}={\frac {3\times 10^{8}\,{\text{m/s}}}{800\times 10^{6}\,{\text{Hz}}}}=375\,{\text{mm}},$$

o que estabelece a distância de inserção em $0{,}079\times 375\,{\text{mm}}=29{,}6\,{\text{mm}}$ a partir da carga.

Para anular a reatância normalizada residual de $+j1{,}52$ observada em ${\text{P}}_{21}$, deve-se introduzir uma reatância em série conjugada:

$$z_{\text{match}}=-j1{,}52.$$

Como o valor é capacitivo, calcula-se a capacitância do componente corretor $C_{\text{m}}$:

$$z_{\text{match}}=-j1{,}52=-{\frac {j}{\omega C_{\text{m}}Z_{0}}}=-{\frac {j}{2\pi fC_{\text{m}}Z_{0}}},$$

$$C_{\text{m}}={\frac {1}{1{,}52\,\omega Z_{0}}}={\frac {1}{1{,}52\times 2\pi \times 800\times 10^{6}\times 50}}\approx 2{,}6\,{\text{pF}}.$$

Portanto, o casamento de impedância é obtido conectando-se um capacitor em série de 2,6 pF à distância de 29,6 mm da terminação.

Alternativamente, o casamento pode ser executado em configuração paralelo (shunt) convertendo-se o ponto para admitância. O ponto de admitância normalizada equivalente a ${\text{P}}_{20}$ é ${\text{Q}}_{20}$, cuja leitura na escala perimétrica é $L_{3}=0{,}152\lambda$. O ponto de interseção mais próximo em direção ao gerador com o círculo de condutância unitária ($g=1$) é ${\text{Q}}_{21}$:

$$y_{{\text{Q}}_{21}}=1{,}00+j1{,}52.$$

A distância necessária ao longo da linha é:

$$L_{2}+L_{3}=0{,}177\lambda +0{,}152\lambda =0{,}329\lambda \quad (123\,{\text{mm}}).$$

A admitância conjugada de casamento exigida é:

$$y_{\text{match}}=-j1{,}52.$$

Uma susceptância negativa em paralelo requer um indutor de valor $L_{\text{m}}$:

$$-j1{,}52=-{\frac {j}{\omega L_{\text{m}}Y_{0}}}=-{\frac {jZ_{0}}{2\pi fL_{\text{m}}}},$$

$$L_{\text{m}}={\frac {50}{1{,}52\times 2\pi \times 800\times 10^{6}}}\approx 6{,}5\,{\text{nH}}.$$

Assim, o casamento paralelo alternativo é realizado conectando-se um indutor de 6,5 nH em derivação a 123 mm de distância da carga.

Circuitos com elementos concentrados

Circuito de elementos concentrados passível de análise por carta de Smith.

Em circuitos compostos por elementos concentrados, os deslocamentos na carta são regidos pelos valores normalizados das impedâncias e admitâncias individuais dos componentes na frequência de interesse, dispensando o uso da escala perimétrica de comprimentos de onda.

Considere o circuito em escada operando a 100 MHz ($\lambda =3\,{\text{m}}$), composto por dois capacitores em série e dois ramos em derivação conectados a um resistor de carga $R_{1}=50\,\Omega$. Adota-se como impedância de normalização $Z_{0}=50\,\Omega$.

Construção gráfica na carta de Smith para a síntese do circuito de elementos concentrados.

A análise parte da carga $R_{1}$ em direção aos terminais de entrada. No resistor de terminação, a impedância normalizada é $z=1$, correspondente ao centro da carta (ponto ${\text{O}}$). Os deslocamentos no plano Z adicionam impedâncias em série e os deslocamentos no plano Y adicionam admitâncias em paralelo.

Etapas de análise do circuito de elementos concentrados na carta de Smith

Etapa	Plano	Valor normalizado ($x$ ou $b$)	Componente associado	Equação de cálculo	Valor obtido
${\text{O}}\to {\text{P}}_{1}$	Z	$-j0{,}80$	Capacitor em série $C_{1}$	$-j0{,}80=-{\frac {j}{\omega C_{1}Z_{0}}}$	$C_{1}=40\,{\text{pF}}$
${\text{P}}_{1}\to {\text{Q}}_{1}$	Z → Y	Transformação de plano a coeficiente de reflexão constante (rotação de 180°)
${\text{Q}}_{1}\to {\text{Q}}_{2}$	Y	$-j1{,}49$	Indutor em paralelo $L_{1}$	$-j1{,}49=-{\frac {j}{\omega L_{1}Y_{0}}}$	$L_{1}=53\,{\text{nH}}$
${\text{Q}}_{2}\to {\text{P}}_{2}$	Y → Z	Transformação de plano a coeficiente de reflexão constante (rotação de 180°)
${\text{P}}_{2}\to {\text{P}}_{3}$	Z	$-j0{,}23$	Capacitor em série $C_{2}$	$-j0{,}23=-{\frac {j}{\omega C_{2}Z_{0}}}$	$C_{2}=138\,{\text{pF}}$
${\text{P}}_{3}\to {\text{Q}}_{3}$	Z → Y	Transformação de plano a coeficiente de reflexão constante (rotação de 180°)
${\text{Q}}_{3}\to {\text{O}}$	Y	$+j1{,}14$	Capacitor em paralelo $C_{3}$	$+j1{,}14={\frac {j\omega C_{3}}{Y_{0}}}$	$C_{3}=36\,{\text{pF}}$

Variações e extensões

Carta de admitância

Carta de Smith em admitância (carta Y). As linhas de grade estão rotacionadas em 180° em relação à carta Z.

A carta de admitância (carta Y) mapeia o coeficiente de reflexão em função da admitância normalizada $y=1/z$:

$$y={\frac {1-\Gamma }{1+\Gamma }},\quad \Gamma ={\frac {1-y}{1+y}}.$$

A geometria da carta Y é idêntica à da carta Z, porém rotacionada em 180° em torno do centro. Escrevendo a admitância na forma $y=g+jb$ (onde $g$ é a condutância normalizada e $b$ é a susceptância normalizada):

$$\Gamma ={\frac {1-g^{2}-b^{2}}{(1+g)^{2}+b^{2}}}-j{\frac {2b}{(1+g)^{2}+b^{2}}}.$$

O semiplano superior representa susceptâncias capacitivas ($b>0$) e o semiplano inferior representa susceptâncias indutivas ($b<0$).

Resistência negativa

Carta de Smith estendida para regiões de resistência negativa (${\text{Re}}(z)<0$).

A carta de Smith pode ser estendida para abranger circuitos com resistência negativa (${\text{Re}}(z)<0$). Nessas condições, o módulo do coeficiente de reflexão ultrapassa a unidade ($|\Gamma |>1$), indicando que a potência refletida excede a potência incidente incidente devido à injeção de energia por dispositivos ativos ou fontes externas de polarização.

Mapeamento sobre uma esfera tridimensional

Projeção da carta de Smith sobre um hemisfério tridimensional

Resistência constante (${\text{Re}}(z)$)

Reatância constante (${\text{Im}}(z)$)

Malha ortogonal combinada

Em 2011, Andrei A. Muller et al. propuseram a extensão da carta de Smith bidimensional para a superfície tridimensional de uma Esfera de Riemann por meio de projeção estereográfica. Essa abordagem unifica em uma única superfície contínua e compacta as regiões passivas ($|\Gamma |\leq 1$, no hemisfério norte), as regiões de resistência negativa de circuitos ativos ($|\Gamma |>1$, no hemisfério sul) e os pontos singulares no infinito.

Ver também

• Diagrama de Bode
• Diagrama de Nyquist
• Linha de transmissão
• Parâmetros S
• Razão de onda estacionária

Ligações externas

• Ferramenta de Carta de Smith 3D – Carta de Smith interativa em 2D e 3D para circuitos passivos e ativos (em inglês)
• QuickSmith – Ferramenta educacional interativa de código aberto baseada na web (em inglês)
• Smith Chart Studio – Software para análise de trajetórias de casamento de impedância em tempo real (em inglês)